Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
любыми ее состояниями в моменты времени t\ и t2 по формуле
6~1qda-j- ^ Q~1hdm\dt (2.8.13)
Dt )
с тем, однако, условием, что эти два состояния связаны обратимым
процессом. С учетом уравнения (2.8.13) неравенство
(2.8.11) можно записать в виде \ и
s (t2) - s (ti) > \ ( ^Q~lqda+ \Q-'hdm\dt\ (2.8.14) f, \dDt D{ J
знак равенства здесь имеет место только для обратимых процессов; знак
неравенства - для необратимых. Из неравенства
(2.8.14) можно обратно восстановить неравенство (2.8.11), если
S (t2) - S (/,) = J f J
t. \ ODt
118
Гл. 2. Элементы механики сплошных сред
рассмотреть процесс, у которого равновесные состояния в мо- I менты t\ и
t2 совпадают. Неравенство (2.8.14) часто называют I неравенством
Клаузиуса, так как оно было впервые постулиро- 1 вано Клаузиусом в 1854
г. для изолированной системы (<7 = 0, I h- 0). Слагаемое в его правой
части, выражающее поверхно- I стный вклад, было добавлено Дюгемом в 1901
г., а слагаемое, | выражающее вклад от объема за счет излучения,
рассматрива- J лось Трусделлом и Тупином [Truesdell, Toupin, 1960]. я
Чтобы распространить формулировку (2.8.14) на процессы, 1 связывающие не
обязательно равновесные термодинамические I состояния, в классической
термодинамике необратимых процес- | сов принимается аксиома локального
равновесия. Считается, что I любая часть Dt материальной системы Bt в
любой момент вре- j мени t может приближенно рассматриваться как
находящаяся ? в тепловом равновесии. Другими словами, предполагается, что
\ характерные времена, за которые исчезают возмущения теплового
равновесия, позволяя тем самым подсистеме Dt прийти I в новое равновесное
состояние, много меньше характерных вре- 1 мен кинематической и
динамической эволюции этой подсистемы. | Следовательно, энтропии
подсистемы можно, приписать ее рав- 1 новесное значение и неравенство
(2.8.14) можно применить I К двум близким моментам времени при
предположении, что S (t) 1
дифференцируемо на открытом интервале времени (70Дм)-В ре- ] зультате из
уравнения (2.8.14) получим \
S(Dt)> J Q~lqda+ J Q~lhdm. (2.8.15)
ODt Df
Это неравенство называется интегральным неравенством Клаузиуса - Дюгема.
В аксиоматической термодинамике Колемана рассматривается эта же самая
формулировка (2.8.15), но здесь ей приписывается статус постулата.
Поэтому существование обеих величин - абсолютной температуры и энтропии -
здесь постулируется для каждого состояния системы, не находящейся в
равновесии; эти две величины рассматриваются как первичные понятия,
подчиняющиеся только неравенству (2.8.15). В дальнейшем уже не делается
попыток обосновать гипотезы, которые апробированы в термостатике и
которые теперь выводятся дедуктивным образом как некоторые частные
случаи. Как использовать обе теории термодинамики, чтобы сформулировать
определяющие уравнения для термомеханических явлений, будет показано в
следующих разделах. Сейчас же мы рассмотрим несколько вариантов
формулировки (2.8.15).
Предполагая, что энтропия также является экстенсивной величиной и введя
удельную энтропийную функцию т1 = 'п(хП)>
§ 2.8. Термодинамика сплошных сред
119
можно записать
(2.8.16)
Подставив это выражение в неравенство (2.8.15) и выполнив обычным образом
с учетом соотношения (2.8.9) локализацию получившегося интегрального
уравнения, найдем локальную формулировку неравенства Клаузиуса - Дюгема в
виде
рг| + ?-(9-1Ч)-Э-1рЛ>0, (2.8.17)
справедливую для всех точек хеД(. Неравенство (2.8.17) с учетом (2.8.12)
можно также представить в форме1)
ф~р(б1 + б2)>0, (2.8.18)
где величины
6,Е=ет)+ p-1(V • q -рh), (2.8.19)
62S-(p0-1)q.g (gsVG) (2.8.20)
называются внутренней диссипацией и удельной диссипацией за счет
теплопроводности соответственно; Ф - полная диссипация в единице объема.
Особый интерес для практического использования неравенства (2.8.18)
представляет следующий вариант формулировки локального неравенства
Клаузиуса - Дюгема. Исключив h при помощи соотношений (2.8.10) и (2.8.18)
и введя удельную свободную энергию (Гельмгольца) ф по формуле
фз=е- т)0, (2.8.21)
получим следующую локальную формулировку неравенства Клаузиуса - Дюгема:
-Р (Ф + Ф) + tr (tDr) - 0~'q • g > 0. (2.8.22)
В термодинамике Колемана последнее неравенство применяется в качестве
ограничивающего условия, которое должно выполняться для всех
термодинамических процессов, совместимых с балансными уравнениями. Оно
представляет собой еще одно ограничение в дополнение к принципу
объективности, накладываемое на a priori постулированные определяющие
уравнения. Следовательно, оно служит для того, чтобы уменьшить
11 Нужно отметить, что в старых работах накладываются более сильные
условия, чем (2.8.18). Например, условия 6i ^ 0 и q-g 0 по отдельности.
Первое из этих условий известно как неравенство Клаузиуса - Планка.
Второе выражает интуитивное представление, что тепло течет в сторону,
противоположную градиенту температуры. Согласно более слабому условию
(2.8.18), второе из этих условий может не иметь места, если есть
