Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
с F. При этом здесь возникает трудность, связанная с граничным условием
на контуре С пластины. Если этот контур идеально изолирующий, то внутри
пластины нет электрического поля; положив тогда
F= Р 11 оВ |, т. е. oBr-oBbKZ, (6.14.19)
получим приближенное решение для магнитного поля. При этом уравнение
(6.14.16) будет удовлетворяться точно, а первое условие (6.4.18) по
меньшей мере приближенно. Однако решение (6.14.19) не будет, вообще
говоря, удовлетворять второму условию (6.14.18) на контуре С. Тем не
менее эта неточность ограничивается узкой зоной в окрестности С, поэтому
от решения в таком приближении можно ожидать вполне удовлетворительных
результатов.
Замечательно, однако, то, что в этом приближении не имеет значения
реальная форма пластины. В работе [Van de Ven, 1978] отмечается, что для
тонких пластин с гладкими границами (например, круглых пластин) краевые
эффекты являются локальными, а магнитная индукция с учетом конечности
пластины имеет функциональную зависимость типа В = 0В[1 + 0(e)],где е =
h/L. Однако для прямоугольных пластин с негладкой границей В может сильно
отличаться от 0В (пример вычисления В в этом случае можно найти в работе
[Wallerstein, Peach, 1972]). Действительно, как показало рассмотрение
случая конечной пластины [Dalrymple et al., 1974], поток магнитного поля
концентрируется около края пластины и в результате этого средний поток
через пластину увеличивается по сравнению с потоком от внешнего поля, т.
е. по сравнению со значением, которое мы предположили выше.
Уравнения для возмущенных малых полевых величин пластины относительно
состояния Ж1 можно получить лагранже-вым варьированием всех уравнений
данной задачи с учетом особенностей распределения поля упругого
перемещения в теории тонких пластин. Такая процедура проведена в работе
[Maugin, Goudjo, 1982] для уравнений (6.14.1) - (6.14.11) для пластин
любой формы, в том числе и с угловыми точками на контуре. Здесь же мы для
простоты пренебрежем наведенными пьезомагнитными взаимодействиями, так же
как и анизотро-
§ 6.14. Уравн., описывающие магнитоупругие ферромагнитные пластины 419
пией, создаваемой фоновым магнитным полем. Однако мы должны учесть
деформацию поверхностей (верхней и нижней сторон пластины). Это означает,
во-первых, что уравнение
(6.6.39) 1 принимает упрощенную форму
д2и,
Po-gtr = tli.l + nm (6.14.20)
с соотношением
hi ^еекФп + 2\кееп = 2]1е J _ 2v ) . (6.14.21)
где %е и Це - коэффициенты Ламе (обозначаемые так, чтобы избежать
путаницы с магнитной проницаемостью р), a v - коэффициент Пуассона
(2.11.29). Определяющие уравнения, связывающие малые магнитные поля b, ш
и h=b + m, имеют вид
ш = /Ь, b = ph, (6.14.22)
a h и b удовлетворяют уравнениям Максвелла
V X h = 0, V • b = 0. (6.14.23)
Следовательно, можно ввести магнитный скалярный потенциал, обозначаемый
через ф для области внутри пластины и через ф для области вне Пластины,
так что
b = - pV^>, У2ф = 0 в D,
(6.14.24)
Ьех = - V-ф, У2ф = 0 вне D
(здесь V2 - трехмерный лапласиан)-
Пондеромоторная сила fem, соответствующая состоянию, возмущенному
относительно Жг, выводится из уравнения (6.14.5) з и первого соотношения
(6.14.24):
f? = [(Vb) • 0М]; = - (р - 1 )0Вф>и " - Р 0Вф'31-, (6.14.25)
здесь мы предположили, что тело сильно намагничивающееся (р>1).
Вследствие формы перемещения, предполагаемого в решении
(6.14.12), без потери общности все малые латинские индексы
в уравнениях (6.14.20) и (6.14.24) можно заменить на большие. Вывод формы
граничных условий для напряжений, однако, потребует внимания. Мы должны
получить явные выражения граничных условий в начальной конфигурации Xi и
при этом учесть изменение единичной нормали, как это было сделано при
выводе уравнения (2.15.8). Пусть п и N - единичные нормали к dD в Жг и Ж{
соответственно. Согласно уравнению (2.15.8), имеем
&xni~nt - = [(NpN0dPkdQieki) Ыкдт - N^uK%IbLi\. (6.14.26)
27*
420 Гл. 6. Упругие ферромагнетики
Но для сторон пластины NK = ±&K3 (рис. 6.14.1), так что из (6.14.26)
следует
п1 = + %6г/с - UK>L6Ll) яа 6гз - U3> i&Li- (6.14.27)
Теперь легко показать, что возмущенная форма граничных условий (6.14.4),
т. е.
0пХ[6хН] + 6хпХ[0Н] = 0,
опХМ] + бхп.[оВ] = 0 (6Л4-28)
имеет вид
sklm (Ф, l Ф, l) &зм = X о^8кьм^ьзиз, м> (6.14.29)
^,з - Ф,з = 0 (6.14.30)
при Z = ±h/2; при этом имеет место соотношение
Вк = В*к ~ 0ВЬК3. (6.14.31)
Далее рассмотрим граничное условие (6.14.3). Для возму-
щений в системе координат {^} Для области внутри пластины D имеем
tKL - р [л# -f- BKbL + bKBL + (-у 1) (В2 -f 2bMBM) ,
(6.14.32)
а для области вне пластины D
t^L = о В ?о?6зкб3?, -f б %к.ЬТ + б зьбд -j "Ь 2^зх) 6^?,j. (6.14.33)
Поэтому с учетом (6.14.27) граничное условие (6.14.3) после небольших
преобразований можно переписать в виде
*зк = 0В2(и3.к - Щ,Ак) - о?(Фи - Ф,з&зк) при Z = ±hf 2.
(6.14.34)
Уравнения (6.14.20) и (6.14.23) г совместно с граничными условиями
(6.14.29) и (6.14.30) и определяющим уравнением
