Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
сделать два существенных замечания. Во-первых, мы будем предполагать, что
в ±<х> тело свободно от напряжений. Тогда из уравнения (6.13.2) с нулевой
левой частью следует, что асимптотические состояния с однородной
намагниченностьн>
(6.13.8) создают так называемые внутренние деформации:
е°м (х = ± оо) = - M%SpqjlBmak (± оо)а2 (± оо), (6.13.9)
где Spqu - тензор, обратный к С/ш в R6 (см. § 2.11). Показано* что в
случае, когда энергия имеет вид (6.13.1), для любого
408
Гл. 6. Упругие ферромагнетики
состояния с однородной намагниченностью а0 уравнение (6.13.2) можно
разрешить следующим образом [Kleman, 1980; Maugin, 1979с]:
е01 = з/2Хта0а0г (6.13.10)
(6.13.11)
^di) = t
^П1== Зс^Г Поэтому в данном случае имеем
^ioo - - ~~ _ , если i - /,
О Сц - С12
если i Ф /.
"°"(±<">=- (6.13.12)
другие компоненты e°{j (± оо) равны нулю.
Второе замечание принадлежит Энцу [Enz, 1964]. Чтобы провести
доказательство, нужно сначала предположить, что не существует "чистых"
стенок Блоха и Нееля в том смысле, что повороты Блоха и Нееля внутри
стенки, о которых шла речь в § 6.12, всегда сопровождаются бесконечно
малым дополнительным отклонением плоскости по углу и это отклонение, а
также его пространственные производные очень медленно меняются на
интересующем нас масштабе длины (толщине стенки, введенной в § 6.12).
Обозначения разъясняются на рис. 6.13.1.
Рассмотрим случай стенки Блоха в бесконечном кристалле (рис. 6.13.1(a)).
Тогда угол 0 конечен, причем О<|0|<л, а
| f |< я, | дф/дх | < 1/6в, | д2у/дх21 < 1/6*. (6.13.13) Следовательно,
при - оо < х < + с" имеем а = аБлох = (^, cos0, sin 0), а слабое
дополнительное отклонение плоскости создает размагничивающее поле Hd:
Нй = -л?.М = (-М55т?, 0, 0) = (-М3ф, 0, 0). (6.13.14)
Теперь уравнения задачи (6.13.3) - (6.13.7) совместно с соотношениями
(6.13.13), (6.13.14) и предельными .условиями (6.13.8) и (6.13.12)
допускают, как это показано в работе [Maugin, Miled, 1986], точное
решение; следуя этой работе и опуская подробности, мы приведем решение
этой задачи в отсутствие внешнего поля. С учетом (6.13.13) уравнения
движения (6.13.3) принимают следующую простую форму:
д2их 2 д2их
§ 6.13. Магнитоупругие солитонные волны
409
где
с1 = си/Р* С\ = СФ- (6-13.16)
Из уравнений Максвелла (6.13.5), проинтегрированных по х, получаем
Ну = Н1 = 0, #г = Я° = 0, НХ = Н1-МХ = -МХ. (6.13.17)
410 Гл. 6. Упругие ферромагнетики
Уравнение прецессии спина (6.13.4) в покомпонентной записи
имеет вид
1 дФ дЧ 1 .. " . ой
71Г= Ms ~дзсГ ~~ ~2 Ms^ Sm ~
- 2В2ейуг cos 20 + B,MS (e"y - e°2z) sin 20, (6.13.18)
~ Т IT Sin 8 = ~ *мз si" 0 + 2BiMs (е°гг - ехх) ф sin*0 -
- 2B2MS (егх sin20 + ~ еух sin 20) , (6.13.19)
1 ла
y~~dTC0S 0 = cos 0 + фМ5 cos 0 +
+ 2B,MS (exx - e°yy) ф cos 0 + 2?2MS (инх cos2 0 + 1 <?zx sin 20),
(6.13.20)
тде e°yz' eyy' elz ~~ постоянные, так как все переменные зависят только
от х. Фактически же, согласно (6.13.12), только е°уу отличается от нуля.
Объединяя уравнения (6.13.19) и (6.13.20) и полагая
2В\М%
К = К~ 2Bfiy = К + (6.13.21)
лолучим уравнения
1 дФ " , - d20 1 р.. - па
T - = ms-^-jKMs sin 20,
1 ДА ~ (6.13.22)
Т ~дГ ~ Ф (^s+KMs cos2 0)+2?2Ms (еух cos 0 +ezx sin 0).
Предположим, что
1 > К (слабая анизотропия). (6.13.23)
Взяв производную по времени от уравнения (6.13.22) 2- исключив ф из
полученного уравнения и уравнения (6.13.22) i и снова использовав
(6.13.22)2 с учетом предположения (6.13.13), окончательно приходим к
уравнению для 0 в виде
4^ " {Х If ~ Т * sin 28) = 2В2ам ("^Г cos 0 + ~Ш~ sin 6)~
- 2?2cd2m [(еух - е2х) sin 20 - 2ezxeyx cos 20]. (6.13.24)
Уравнения (6.13.15) и (6.13.24) - нелинейные дифференциальные уравнения в
частных производных, описывающие динамику стенок Блоха в бесконечном
кубическом кристалле- Они допускают точный интеграл. Действительно,
рассмотрим решения
§ 6.13. Магнитоупругие солитонные волны 411
для их" и>у, uz и 0 в виде функций только фазовой переменной: I = qx - at
+10, ?,0 = const. (6.13.25)
Если и и q не удовлетворяют обычному "дисперсионному уравнению" для
продольных и поперечных упругих волн (см. § 2.12) ^ т. е.
со2 = со2 =3 c\q2, со2 = (r)2Г = с2тд2, (6.13.26)
то из уравнений (6.13.15) следует
<Эе"" _ де"г _ де,
тогда как Положим
# = Т = °- т = °- (613-27>
= = (6-13-28>
ф = 20, х = х/ьв, r = i&M, &м = К(х>гм> (6.13.29)
тогда уравнение (6.13.24) с учетом (6.13.27), (6.13.28) сводится к
безразмерному уравнению синус-Гордона:
0--g-+8тФ = ° (6.13.30)
с асимптотическими условиями (следующими из (6.12.3)):
ф(х-> - оо) = 0, <р {х -*¦ + оо) = 2я. (6.13.31)
Уравнение (6.13.30) допускает следующий точный интеграл - устойчивое
решение:
Ф = 4 arctg |с exp jj ^ -х\ j j , C = const, с = -^-< 1, (6.13.32)
которое называется солитонной волной для ф, так как известно* что она
ведет себя как солитон (т. е. восстанавливает свою скорость и амплитуду
после взаимодействия с другой такой волной). Решение (6.13.30) -
(6.13.32) совпадает с решением, полученным в работе [Enz, 1964] для
