Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
поперечных волн возмущений из обычной теории упругости. Предполагается,
что
с\ >0, с\ > 2с].. ' (5.9.24)
§ 5.10. Движения с малой амплитудой и характеристики 295
Последнее условие справедливо для всех известных материалов.
Положительная определенность функции е и тот факт, что 0 > О, требуют
выполнения неравенств
0 = 0О + 1?ti - х/, > 0, (5.9.25)
V > 3х2/(3с2 - 4с2). (5.9.26)
Величина всегда положительна, а величина к может быть как положительной,
так и отрицательной в зависимости от того, расширяется или сжимается
материал при нагревании. Если ввести модули Ламе X и р, соотношениями
р. = р0с| >0 и
.X - р0 - 2с|) > 0, то выражение для термоупругих напряжений примет вид
Т* = (А, + 2р - p0xri) f,I + ре, <g> fx, (5.9.27)
где I - единичный диадик, а
fx = f-/,e,. (5.9.28)
Аналогичное соотношение можно выписать для любого векторного поля А; Л[ и
Ах - обозначения его продольной и поперечных компонент соответственно. В
заключение отметим, что для неогуковских материалов соотношения (5.9.22)
принимают вид
•<Рл<Pff= ci> = Флну = Ф^лг= Ф?т|== (5.9.29)
§ 5.10. Движения с малой амплитудой и характеристики
Пусть В, и девятимерный вектор
S = S0 = {BX, f, v, 4} (5.10.1)
описывают состояние невозмущенной среды, а вектор
S? = AS = {ABx, Af, Av, Ari} (5.10.2)
- его соответствующее возмущение. Линеаризованная форма системы уравнений
(5.9.12) - (5.9.17) относительно состояния •S0 имеет вид
0 = АВь (5.10.3)
0 = dt [Вх А/, + (1 + f,) Вх] - Btdx Avx, (5.10.4)
(c) = dt (До,) - дх Af, + 2<pfNf± • Afx +
+ (5Л0'5)
296
Гл. 5. Упругие проводники
Q = dt (Avx) - дх [2Ф/Л, (A/,) fx + 2<р" Afx +
+ 4флглг*1 (*ц ' ^i) + 2q>Wl)fx ^'П] ц0р0
(5.10.6)
(5.10.7)
(5.10.8)
о = а# (Af) - ах (Av), 0 = d((Ati).
В матричной форме эта система уравнений имеет вид dt (AS) + Мдх (AS) = 0,
(5.10.9)
где М - матрица 9X9 и AS = {A52> Afj, А/з> Дуь г
Ауз, Atj}. Система уравнений (5.10.9) предполагается гиперболической. Это
означает, что матрица М имеет девять вещественных собственных значений и
полную систему из девяти собственных векторов. Необходимые для этого
условия, которые нужно наложить на матрицу М, будут даны ниже.
До сих пор мы интересовались решениями AS уравнения
(5.10.9), которые имеют слабые разрывы. Основное свойств" таких решений -
это свойство всех разрывных решений линейной гиперболической системы
уравнений: разрывы в AS переносятся вдоль определенных поверхностей в
пространстве, называемых волновыми фронтами которые, двигаясь с конечной
скоростью, заметают в пространстве-времени характеристические поверхности
этой системы уравнений. Скорости распространения волн и разрывов,
переносимых волновыми фронтами,, определяются из уравнений характеристик
для данной системы. Пусть характеристическая кривая (для одномерного
движения) описывается уравнением h(x, t)= 0. Также пусть x = SS{t)-
положение разрыва в момент t. Тогда h{S&{t)> t) - 0. Дифференцируя это
соотношение по t, получаем cdxh + dth = 0, где с = dSBIdt - скорость
движения разрыва. Следовательно, характеристическая скорость, или
скорость распространения возмущений, определяется формулой!)
Теперь мы можем применить хорошо известный формализм (см. приложение
A.III и книгу [Courant, Hilbert, 1962, т. 2,, гл. V). Характеристические
уравнения системы (5.10.9) получаются простой заменой в уравнениях всех
величин типа df(AS) и d*(AS) на величины - c6S и бS соответственно. Здесь
6S = AS; - ASr = [AS] обозначает величину скачка AS при переходе через
характеристическую кривую h(x, 0 = 0; и
с = - dth!dxh.
(5.10.10)
о Не следует путать эту величину с со скоростью света, которая не входит
в проводимый здесь анализ.
§ 5.10. Движения с малой амплитудой и характеристики
297
ASr - предельные значения AS при подходе к кривой h(x, t)= 0 с обеих
сторон - слева и справа; 6S называется бесконечно малым разрывом решения
S. Применяя это рассуждение к системе (5.10.9), получаем в развернутой
форме:
0 = 6В1( (5.10.11)
0 = -с[(1 + /,)6ВХ + Вх б/,] - В, 6vx, (5.10.12)
В, •6В .
о = - с во, - [q>ff б/, + 2q)fjvfx • 6fx + (pfT)6ri] + ¦- -, (5.10.13)
0 = - с 6vx + [2<pf"fx б/, + 2q>" 6fx + 4f^wfx (f х • 6fx) +
+ ""Л4ч]--5г"в1. <5-1(U4>
0 = -c6f -6v, (5.10.15)
0 = -свтр (5.10.16)
Уравнение (5.10.15) является кинематическим условием совместности: оно
обеспечивает непрерывность перемещения % на характеристической
поверхности для всех t~> 0, если % непрерывно в начальный момент. В
матричной записи система уравнений (5.10.11) - (5.10.16) принимает форму
0 = (с/9 - М) bS, (5.10.17)
где /9 - единичная матрица размера 9X9, а М - матрица 9X9 из системы
(5.10.9). Уравнение (5.10.17) имеет нетривиальные решения тогда и только
тогда, когда с - один из корней полинома девятой степени:
F(c\ Af) = det (с/9 - ЛГ). (5.10.18)
Условие гиперболичности системы уравнений требует, чтобы все эти корни
были вещественны. Легко показать, что с = 0 - корень многочлена F(c\ М) с
кратностью три, поэтому по меньшей мере три характеристические скорости
