Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
(5.11.2) - (5.11.7). Определим среднее значение (Q) полевой величины Q на
ударной волне формулой
<Q> = 72(Q+ + <T). (5.11.14)
Соотношение (5.11.8) можно переписать в виде 0 = m [е] + m [-^] - (Т]) •
[v] - [Т,] • <v> +
+ {(m M - [Oil) -Ц-} + (m M - ("," +
+ V M ' <*> -1? I-] + fr <v>' 1W - 77 ^ <5-1L 15>
где т определяется формулой
т = (1+/,)/Ро = р-1; (5.11.16)
здесь мы также несколько раз воспользовались тождеством
[PQ] = [P](Q) + (P)[Q}. (5.11.17)
Выражение в скобках в соотношении (5.11.5) обращается в
нуль с учетом (5.11.11). Умножим уравнения (5.11.4), (5.11.5),
объединенные в одно трехмерное уравнение, слева на (v) и вычтем
полученное уравнение из (5.11.5). В результате получим
О = m [е] - (Tj) • [v] +
+ + <вли8>
Из (5.11.3) находим
^ (В) • [v] = m = m [т] [В] • <В>. (5.11.19)
Мо [*о М-о
§ 5.11. Уравнение Гюгонио 307
Подставляя это выражение вместо второго слагаемого в скобках уравнения
(5.11.18) и учитывая (5.11.17), находим
т [е] - (Т,) • [v] = - -- [т] "В2) - (В)2).
Таким образом,
т [е] _ (т,) . [v] = _ JjL [т] [Bl]2. (5.11.20)
Это и есть искомое уравнение Гюгонио в теории магнитоупру-зости. Ясно,
что 'из-за обратимости проведенных преобразова-лий уравнения (5.11.8) и
(5.11.20) математически эквивалентны.
В ударных волнах тф Он уравнение (5.11.20) приводится к виду
Ро И - <Т,\ • Ш = - 4^ [/,] [BJ2, (5.11.21)
так как соотношение
m [f] == ро [v] (5.11.22)
эквивалентно соотношениям (5.11.6), (5.11.7). Уравнение
(5.11.21) позволяет по-новому взглянуть на случай слабых ударных волн,
т. е. ударных волн, для которых | [f] |, | [В] | и [ri] малы.
Действительно, раскладывая функцию е в ряд по своим аргументам, можно
записать уравнение (5.11.21) в виде
(ф,_ + • [У + ТФГч [/,]) М +
+ ^1^+...=--(tm)^. (5.П.23)
где символ "+..." заменяет аналитические выражения третьего и четвертого
порядков по [/i], [fi] и [т|]. Из уравнения
(5.11.23) по теореме о неявной функции следует, что [т]] - аналитическая
функция компонент [f] и [Вх]; заметим, что фп = = 0=7^0. Действительно,
из самой формы уравнения (5.11.23) следует, что [ц] имеет третий порядок
малости по компонентам [f]j и [Вх]. Это в свою очередь приводит к тому,
что уравнения
(5.11.2) - (5.11.9) для слабых ударных волн переходят в соответствующие
характеристические уравнения (5.10.11) - (5.10.16).
Для гуковских материалов уравнение (5.11.23) сводится к уравнению
Ч& Ы2 + Y ([/.]) N = - [fi] [Bi]2/(4pop0),. (5.11.24)
где
Y ([/.]) = % + Vr\~~*/Г + 4a*lfi] (V(0)> 0). (5.11.25)
Требование обращения в нуль скачка [ц] на ударной волне нулевой
интенсивности отбрасывает один корень квадратного
20*
308
Гл. 5. Упругие проводники
уравнения (5.11.24) по [tj]; оставшийся корень равен
(5.1126)
Ясно, что для всех достаточно малых [/i] > 0 скачок [ri] < 0; это
показывает, что ударные волны, для которых [fi] > 0, недопустимы.
Отметим, что уравнение (5.11.26) приводит к неравенству fo] > 0 тогда и
только тогда, когда [ft] < 0. Следовательно, в гуковских материалах
ударные волны, на которых f 1 терпит скачок, допустимы тогда и только
тогда, когда [fi] < < 0; иными словами тогда и только тогда, когда они
являются волнами уплотнения, так как [fi] < 0 означает неравенств" р+>р~.
При формулировке этого утверждения предполагалось, что [/i]=t^0. Теперь
мы вернемся к классификации ударных волн в теории магнитоупругости. Но
прежде чем перейти к ней, остановимся на случае контактных разрывов.
С. Контактные разрывы
Положив С = 0 в соотношениях на скачках, получим следующую систему
уравнений:
М==0' (5.11.27)
[7'1,] = [В2]/2ро, [r.jJ - fiilBjJ/Ho.
Так как С и [v] равны нулю, то соотношение Гюгонио удовлетворяется
тождественно. При заданных значениях BI, v- и "Л- с одной стороны разрыва
уравнения (5.11.27) представляют собой систему из трех уравнений для
шестимерного вектора (В+, f+, Т1+} с другой стороны разрыва и,
следовательно, дают трехпараметрическое семейство решений. Этот вывод
согласуется с линейной теорией, кратко обрисованной в § 5.10, в которой
имеются только три линейно независимые стационарные моды.
В отличие от магнитогазодинамики [Jeffrey, Taniuti, 1964] здесь сдвиговое
движение ([v] ф 0) не дает разрешенный контактный разрыв, когда [Bi] = 0.
С другой стороны, когда В\Ф$, величина [BjJ обращается в нуль в
магнитогазодина-мике, но не в теории магнитоупругости. В последнем случае
скачок величины Bj. необходим, чтобы уравновесить скачок касательных
напряжений (такие напряжения, конечно, отсутствуют в жидкостях).
В астрофизике плотных магнитных звездных объектов может понадобиться
релятивистское рассмотрение ударных волн в магнитоупругих средах.
Требуемую форму уравнения Гюгонио читатель может найти в работах [Maugin,
1978b, 1979а]; явле-
§ 5.12. Классификация ударных волн в магнитоупругих средах 30^
ния образования ударных волн в магнитоупругих средах в релятивистской
формулировке исследовались в работе [Maugin" 1981b].
§ 5.12. Классификация ударных воли в магнитоупругих средах
