Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, видно, что влияние начального магнитного поля проявляется
в увеличении коэффициента термоупругого взаимодействия ее на величину (1
+ ея)/ёя. С учетом этой поправки Таблица 5.7.1. Характерные частоты
нескольких металлов
Алюминий Медь Железо Свинец
й *, с-1 4.66- 10й 1.73- 10й 1.75- 1012 1.91 • 1011
как коэффициент затухания, так и фазовая скорость имеют те же значения,
как и для чисто термоупругих волн. Результат
(5.7.6) пригоден для широкого диапазона частот, если заметить,, что для
ряда типичных металлов при комнатной температуре характерная частота Q*
имеет значения, приведенные в табл .5.7.1 [Chadwick, 1960].
Результат (5.7.6) принадлежит Парна [Paria, 1962; 1967] и Уилсону
[Wilson, 1963]. В рамках теории магнитоупругости решено большое
количество нестационарных задач, особенно польской группой под
руководством В. Новацкого. С математической точки зрения представляется
очень интересным выяснение влияния объемного теплового источника Q в
уравнении
(5.6.6) [Hetnarski, 1961; Kaliski, Nowacki, 1963; Paria, 1964а].
Новацкому [Nowacki, 1962, 1965а, 1975] принадлежат многие теоремы,
касающиеся нестационарных задач. Он же сформулировал вариационные теоремы
для линейной теории магнитоупругости [Nowacki, 1965b]; формулировку
теоремы взаим-
§ 5.8. Геометрическая теория магнитоупругости
287
ности можно найти в работе [Kaliski, Nowacki, 1965]; единственность
решения задачи в рамках линейной теории магнито-термоупругости также была
доказана Новацким [Nowacki, 1965а]. Все эти результаты читатель может
найти в обширном обзоре [Nowacki, 1975]. Задача о радиальном движении
упругого шара в магнитном поле была решена в работе [Paria, 1964]; это
пример полностью трехмерной задачи, хотя и без учета тепловых эффектов.
Следующие семь параграфов главы посвящены исключительно предельному
случаю идеальных проводников; сначала рассматриваются решения
линеаризованных уравнений, а потом в основном нелинейные волноподобные
движения.
§ 5.8. Геометрическая теория магнитоупругости
А. Система уравнений
Рассмотрим линейную теорию магнитоупругости изотропных идеальных
проводников в ее полной трехмерной форме, но в отсутствие тепловых
эффектов; линеаризация считается доведенной до конца. Это означает, что
уравнения для магнитного поля также линеаризованы относительно
постоянного поля В0, а В будет обозначать малое отклонение магнитной
индукции. Линеаризация проводится в предположении, что невозмущенное
состояние среды не имеет скоростей и напряжений. Плотность ро и
коэффициенты Ламе Яиц могут изменяться в пространстве. При таких условиях
уравнения (5.4.1) з, (5.4.17), (5.4.2) и определяющие уравнения для
тензора упругих напряжений переписываются в виде (от последнего взята
производная по времени)
0 = v х (w х v) = '¦1д- Щ (С/)' (5'8'2)
0=po-§f-V.TS-(vX-^)XBo^l2[dt, V](17), (5.8.3) 0={r-MV.v)I-2(1|S|3[dt,
V](U), (5.8.4)
В выписанной системе уравнений U обозначает тройку [В, V, е],
характеризующую поле возмущений. По техническим соображе-
0= V'B = /0[dt, V](t/),
(5.8.1)
где
(5.8.5)
!) Этот краткий очерк следует в основном работе Бейзера [Bazer, 1971].
288
Гл. 5. Упругие проводники
ниям U рассматривается как пятнадцатикомпонентный вектор, который из-за
симметрии тензора е входит в двенадцатимерное подпространство. Из
пятнадцати уравнений (5.8.2) - (5.8.4) независимы только двенадцать. Эту
систему уравнений можно записать в сжатом виде:
О = L0 ^ ^ + Г (t/) =:L (dt, V)U + F (U),
(5.8.6)
*. &
где для любой скалярной величины X и любого вектора п с компонентами rts
существует равенство
при действии оператора V' = {д/дхк'} величины р0, В, Л и р, считаются
постоянными, как и при действии оператораV0- величины В, v и е; поэтому
производные от В, V, е не входят в уравнения (5.8.9).
Возьмем другое решение U* = [В*, V*, е*] и рассмотрим следующую
билинейную форму:
простые преобразования показывают, что для любых скаляров % и векторов п
Так как L0 - положительно определенный оператор и операторы Lo, L\, L3
симметричны относительно введенного таким образом скалярного
произведения, а Т? - линейный симметричный положительно определенный
оператор из пространства симметричных тензоров второго порядка, то с
учетом (5.8.11) заключаем, что рассматриваемая система является
симметрично гиперболической по Куранту и Гильберту [Cou'rant, Hilbert,
1962]. Это свойство системы уравнений (5.8.2) - (5.8.4) или
к
L(X, n)U^L0U+ZnkLkU^
k
^ [lj [X, n] ([/), Ь [к, nКС/), 13 [К П] (С/)], (5.8.7)
так что
LqU = L (1, 0) U,
LkU = L0(0, tk)U, k= 1,2,3, (5.8.8)
^(?/) = [F, (17), F2 (?/), 0];
здесь
(5.8.9)
F2(C/) = ~ 7Г (vo X Во) X В - V0 • T*;
(IT, L (X, n) V) = B* • 1, [X, n] (U) + V* • 12 [X, n] (17) +
+ tr {e* • 13 [Я, n] (U)}; (5.8.10)
<?/*, L(X, n)U) = (L(X, n)U\ U).
(5.8.11)
§ 5.8. Геометрическая теория магнитоупругости 289
(5.8.6) сразу же показывает, что линейная теория магнитоупругости
идеальных проводников позволяет дать геометрическую формулировку,
