Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим бесконечную упругую среду с длинным цилиндрическим отверстием
радиуса R и осью, совпадающей с осью х3; среда находится под действием
одноосного натяжения Т, приложенного на большом расстоянии от отверстия в
направлении, перпендикулярном оси х3 (рис. 5.5.1), например вдоль оси х\.
На поверхности отверстия механические напряжения считаются
отсутствующими. Среда находится в магнитном поле Но, направленном на
бесконечности параллельно натяжению (вдоль оси х\) \ на поверхности
отверстия магнитное поле задано. Спрашивается, каково влияние магнитного
поля на распределение напряжений в среде и особенно на касательные
напряжения, т. е. /ев, на поверхности отверстия ')?
Чтобы решить эту задачу (которая может рассматриваться как задача о
плоской деформации), предположим, что на поверхности отверстия
интенсивность магнитного поля задана формулой
Hi = Н0-\- hcos0, (5.5.31)
так что
_________ (hi)r=R = h cos0. (5.5.32)
4) Чисто механическая задача в отсутствие магнитных полей решена,
например, в книге [Мусхелишвили, 1958]. Установлено, что /ее=ЗГ-
максимальное значение при 0 = я/2 и г = R. Задача с учетом
магнитоупругости решена в работе [Paria, 1961].
Рис. 5.5.1. Задача о распределении на-лряжений около цилиндрического
отверстия в проводящей бесконечной среде в магнитном поле.
§ 5.5. Статическая задача 28В
Для чисто упругого решения найдено, что
Mz)=4r(i-¦§-). = <5-5-33>
а компоненты тензора напряжений равны
(ее = -f (1 + -?¦) - y (1 + ptj) cos 20, (5.5.34>
т (. , 2R2 зя4\ . OQ
//•6 - 2 \ г2 г* ) ^
Согласно уравнениям (5.5.17) и (5.5.31), мы можем положить
f! (z) = ЛЯ/z. (5.5.35)
Подставив в уравнение (5.5.28) выражение для fi(z), получим распределение
напряжений, соответствующее а2 и Ь2, в виде
trr - itr(l = а2 (z) + а2 (z) - е2'6 [z// (z) + b2 (z) -
- iw (# - t) + (1 - V) ** (;*• Яо ¦+ +
+ХД?)) та
Функции ц2 и 62 нужно выбрать так, чтобы напряжения обратились в нуль как
на внутренней поверхности г = R, так и в. бесконечности. На границе г =
R, т. е. z = Rem, имеем
а2 (Reie) + а2 (Reie) - Rel% (Reie) +
+ -g- hk2 (еш - а_зге) - н'е^2 (Reie) +
+ (1 - v)?2 (j He + he~l6)] = 0;~ Д5.5.37)
это уравнение удовлетворяется, если
aj (z) = - 1 hk2 (Rjzf, (5.5.38)
b2(z) = - (.1 - v)k2(±H0 + '!?)-±hk2(R/zf. (5.5.39)
Тогда из (5.5.36) - (5.5.39) найдем
(*)[' -T{t)' + T(t)*]cos301 (5.5.40)-
= -| A4! (y-)' [l - (-f)2] sin 36. (5.5.41),
282 Гл. 5. Упругие проводники
Наконец, используя соотношения (5.5.25) - (5.5.27) и учитывая уравнения
(5.5.35), (5.5.37) и (5.5.40), получим
tm = jhk2 (т-)3[1 -3(|-)2]cos30. (5.5.42)
Искомое распределение напряжений является суперпозицией распределений
(5.5.34) и (5.5.40) - (5.5.42). Добавка к касательному напряжению f00 на
внутренней поверхности г = R, •обусловленная магнитным полем,
определяется из выражения (5.5.42) и равна
*ее = -4ТГ=^) cos39; <5-5-43)
это и есть искомое решение. Полученное напряжение сжимающее при 0 < 0 <
я/б и растягивающее при я/6 < 0 < я/2. Максимальное значение в каждом из
этих интервалов одинаково: (fee) шах - цоЯоЛ/4 (1 - v).
Отметим, что методы функций комплексного переменного, проиллюстрированные
на частном примере решения задачи с цилиндрическим отверстием, можно
распространить на задачи, в которых поперечное сечение отверстия таково,
что его можно конформно отобразить в круг.
§ 5.6. Одномерное линейное движение
В одномерном движении все векторы считаются функциями только двух
переменных {x\=x,t). Предположим, что вектор перемещения и направлен
вдоль оси х, т. е. и = (", 0,0). Тогда из уравнения (5.4.12) i следует
¦дН, дНи _ _
f х~ 0. ^у=~с~дх~' ?г = с~дх~' (5.6.1)
а второе уравнение (5.4.1) дает
Нх - 0, .??*=: Л Я i = - -Яг. (5.6.2)
х ' дх с У' дх с 2 ' '
Первое из этих соотношений утверждает, что Нх = 0, если в начальный
момент магнитное поле не имело составляющей, параллельной оси х. Первое
уравнение (5.4.10) в покомпонентной записи имеет вид
fx = oEx, Гу = о(Еу--^Нгй), Гг = о(Ег+^Нуй),
(5.6.3)
так что с учетом первого соотношения (5.6.1) заключаем, что Ех = 0. Тогда
из (5.4.13) находим
-srWA <5-6-4>
§ 5.6. Одномерное линейное движение
28$
Уравнение (5.4.14) при помощи соотношений (5.6.1) преобразуется к виду
Если мы на исходное магнитное поле Н0 = (0, 0, Я0г = Я0) наложим
дополнительное малое поле h = (0,hy,hz) и проведем линеаризацию уравнений
(5.6.4) и (5.6.5), то получим
Уравнения (5.6.6), (5.6.7) 2 и (5.6.8) образуют систему из трех
взаимосвязанных линейных уравнений для неизвестных 0, Нг и и\ неизвестная
ку определяется независимо из уравнения (5.6.7) 1. В случае идеальных
проводников N стремится к бесконечности, первое уравнение (5.6.7) требует
hy = 0, а второе после интегрирования по времени дает
Подставив это выражение в уравнение движения (5.6.8), получим уравнение
здесь сА - альфвеновская скорость в направлении оси х (ср. с (5.2.21)).
Если отвлечься от слагаемого с температурой, то уравнение (5.6.10) можно
считать волновым уравнением с характерной скоростью cL.
