Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Ф —----------2 Ко —
по всему пространству
I *oo Jr Тц tn і ^ Тоо
(36.48)
Разлагая | х — х' |-1 в ряд по степеням 1/г, получаем
M . djxi г ~Г гз \
M = (полная масса-энергия источника) = j 71°0 d3x,
dj = (дипольный момент источника) = ^ TMxJdx:\ (36.496)
fjh = (приведенный квадрупольный момент источника) =
§ 36.11. Вывод потенциала реакции излучения 231
2
36.7. Величина t
УПРАЖНЕНИЯ
Рассмотрите медленно движущийся источник гравитационных волн. Покажите, что вдали от источника, но в ближней зоне (R <С r <€ L) компоненты «псевдотензора энергии-импульса» ?-uv спадают с расстоянием как I Vі, но в волновой зоне (г к) они спадают лишь как 1/г2.
36.8. Доказательство тождественности поперечных бесследовых частей величин f jh и Ijk
Докажите непосредственным вычислением, что ТТ-частн Ijk (36.426) и fjk (36.46) тождественны независимо от того, где находится наблюдатель, совершающий проекцию, в результате которой получаются эти части (т. е. независимо от вида единичного вектора п в операторе проекции).
36.9. Излучаемые энергия и момент импульса
а. Для гравитационных волн в асимптотически плоском пространстве-времени, описываемых уравнением (36.47), вычислите «размазанный» по пространству-времени тензор энергии-импульса Т{^ \ даваемый выражением (35.23). [Ответ: выражение (36.22).]
б. Выполните интегрирование в (36.23) и (36.25), чтобы получить полные излучаемые мощность и момент импульса. [Указание. Выведите и воспользуйтесь следующими усредненными по сфере величинами:
Здесь п = х'j х I — единичный радиальный вектор.]
§ 36.11. ВЫВОД ПОТЕНЦИАЛА РЕАКЦИИ ИЗЛУЧЕНИЯ
Обратимся в заключение K ВЫВОДУ результатов, ОТНОСЯЩИХСЯ Вывод формулы к реакции излучения и изложенных в § 36.8. Расчет начнем с реше- реакцииенинала НИЯ (36.43) ДЛЯ пространственной части ПОЛЯ излучения B перво- излучения: начальной калибровке (т. е. не в ТТ-калибровке)
Хотя это решение первоначально выводилось путем отбрасывания всех членов, убывающих с расстоянием быстрее чем 1 Ir,
hM(t, х)=у Ijh (t — г).
(36.50)
2
232 36, Генерация гравитационные волн
в действительности оно представляет собой точное решение вакуумных уравнений поля Whi «“=0 линеаризованной теории. Это значит, что оно справедливо как в волновой зоне, так и в промежуточной и ближней зонах (г ^ к, но г > R).
Если бы мы заменили граничное условие для расходящихся волн на граничное условие для сходящихся волн на бесконечности, то следовало бы заменить точное решение (36.50) на
hA(t, ас) = |- Ijh(t+r).
1) формула для Hjji всюду вне источника в присутствии расходящейся или сходящейся волны
Таким образом, чтобы выявить эффекты, обусловленные наложением граничного условия для расходящихся волн, мы можем записать точное решение в виде
hjk (t, х) = hih (t, sc) = у I]h (t —ъг), е = ±1, (36.51)
2) конкретизация h jk для ближней зоны
3) Zi00 и hQ. в ближней зоне, вычисленные с помощью условий калибровки
и затем сконцентрировать внимание на эффектах, связанных со знаком е.
В ближней зоне (г к), но вне источника, который носит почти ньютоновский характер, это решение для hjh при разложении по степеням г принимает вид /<.2 )
где
Г /<4>г /(.5) г2
kjh =2 — + -fj----------------H ¦ J, (36.52а)
Отсюда можно получить соответствующие выражения для hoj и A00 при калибровочных условиях ha, р = О, т. е. при Kj
— hjh, h и A0о, 0 = Koji j. В результате находим
1JO, о
Aoi = 2
JiDrJl 1Jk Х
Tl3)rh
1Ihx
21$ X*
^Ijkxhr
4/(Д)?Йг2
J [_ гЗ 1 2 Ir " 3! 1 4! " 5!
(статические члены, не связанные с излучением); (36.526)
(ЗхЗхк — г2 &ih)
'00
4-
-I л-
3 (xhh +r4ih) TU) „ 4 (2xixk + rZ&k) 7(5 -------Wr-------Іік~г------------5!----
(хіхк — г2&Ь) f(2) ^ 2 Tl3)
2!r3 )h 3!
jit I----]-+-
-)- (статические и линейные по времени члены,
не связанные с излучением). (36.52в)
Главный член в этих выражениях при приближении к источнику возрастает как 1 /г3:
т 2(3хіхЬ — гЧзЬ) r 6tjhninb
Jh '
§ 36.11. Вывод потенциала реакции излучения 233 Он в точности совпадает с динамической квадрупольной частью
2
і
1 г
ньютоновского потенциала Ф =---------^ ^oo = — 4-^00- Все дру-
гие члены, не содержащие є, являются поправками к ньютоновскому потенциалу. Они создают эффекты, подобные смещению перигелия Меркурия, которые никак не влияют на запасы энергии и момента импульса системы.
Члены с є связаны с реакцией излучения. Выберем из них главные члены и назовем их «потенциалами реакции излучения»:
7 (реакц)______ о /43) I r<5),.2
nih — — — -3 Jjk г ,
___ 2 r(4)„ft_ I r(.6)„ftr2
2 1 Jk х і г; 1 Jk't' 1 1
7 (реакц)
"Oj
й(реакц) = _ I __1_ (2xJxk + Г28М} 7<5,_
4) выделение потенциалов реакции излучения из Hrx р
(36.53)
1 г
Соответствующие возмущения метрики йар — -Tf равны
й«реакц) = _ 2/,з, + I /<|>,б .ft+ О (ZjS^)1 /г« = _ + о (/5Уг3)і
hTKn) = - j !?€ - і + /&>.
(36.54)
Смысл этих потенциалов можно представить себе более ясно, если изменить калибровку таким образом, чтобы привести их к ньютоновскому виду. Положим для этого
