Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Atlv — — tIhv (36.34)
Ясно, что Ativ не являются компонентами тензора. He являются компонентами истинного метрического тензора и ^tiv. Тем не менее мы можем поднимать и опускать индексы в Iisix с помощью Iiliv її определить
Ahv=^uv--J1I А =Аа“ = Actpirp- (36.35)
Более того, всегда можно подобрать координаты так, чтобы всюду, включая область внутри источника, A^iv точно удовлетворяло четырем условиям
Ац“,а= 0. (36.36)
При этих определениях и соглашениях Aixv вдали от источника переходит в гравитационное поле линеаризованной теории; это справедливо и для области внутри источника, если гравитация там слаба. Ho если внутреннее гравитационное поле является сильным (| Atlv [ не <1), то Aixv во внутренней области не имеет никакого отношения к линеаризованной теории.
Точные эйнштейновские уравнения поля могут быть записаны через Aliv [ср. § 20.3; в частности, объединяя уравнения (20.14), (20.18) и (20.3) и налагая координатные условия (36.36)] в виде
й^1орТ1оЭ= -16^(7^+^v), (36.37)
где Tliv — компоненты тензора энергии-импульса, a ^iv — величины (компоненты «псевдотензора энергии-импульса гравитационного поля») второго или более высокого порядка по Aixv. Напомним «точку зрения контролируемого неведения», развитую в § 19.3. Мы столь несведущи, что нигде до сих пор даже не выписывали явного выражения для через Aal3, но это наше неведение контролируется таким образом, что это выражение в последующих вычислениях нам никогда не понадобится! Более конкретно, напряженность расходящейся волны пропорциональна интегралу от сложного выражения по внутренней области системы, где «гравитационные натяжения» могут быть сравнимы с натяжениями вещества I t3k I ~ [ Tlh |. Ho это неважно. На излучение влияет лишь квадрупольная часть поля. Кроме того, квадрупольный момент определяется эмпирически с помощью чисто
li — d 18
1) определение
2) уравнения поля в h.,..
3) «точка зрения
контролируемого
неведения»
2
226 36. Генерация гравитационных волн
ньютоновских измерений в ньютоновской области, которая лежит 1) далеко внутри волновой зоны, но 2) далеко за пределами источника. Чтобы определить массу звезды (влияние на кеплеровские орбиты вне звезды), не обязательно знать, что происходит внутри нее; не обязательно это знать и для определения квадрупольного момента, каким он воспринимается снаружи.
Уравнения Эйнштейна (36.37), дополненные граничным условием для расходящейся волны, эквивалентны интегральным уравнениям
4) уравнения 1^(1, Xi)=^ ( Jl^+J^hfSS^dV, (36.38)
ноля в интеграль- J I
пой форме по всему
пространству
где
I х — х' [== [2 — xJ')2]1/2, d3x' = dx1' dx2' dx3',
а индекс «запазд» означает, что величина берется в запаздывающем событии пространства-времени
(f' = t — I ос — ос' |, Xу).
Эти уравнения являются интегральными, поскольку неизвестные Aliv появляются как вне интеграла, так и под интегралом (под интегралом они входят в ^v). Заметим, что при переходе от волновых уравнений (36.37) к интегральным уравнениям (36.38) мы обращались с величинами Ziliv так, как будто они являются полями в плоском пространстве-времени. Это, конечно, неверно, но математические преобразования тем не менее не перестают быть корректными, и интегральные уравнения (36.38) справедливы для любой точки (t, Xі) даже внутри источника.
5) конкретизация для случая медленного движения
§ 36.10. РАСЧЕТ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ В ПРИБЛИЖЕНИИ МЕДЛЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
До сих пор рассмотрение было точным. Теперь необходимо сделать предположение о медленности движения, о котором шла речь в § 36.7, т. е. положить R <С к.
Поместим начало пространственных координат внутри источника, как показано на фиг. 36.3. В случае медленно движущихся систем существенный вклад в запаздывающие интегралы (36.38) дает лишь область, лежащая глубоко внутри ближней зоны (область размером L ~ R <фиг. 36.3). Ограничимся рассмотрением «полевых точек» (т. е. точек наблюдения) X3, лежащих далеко от «области источника»,
I ж I =r > L 3* \х' I
(36.39а)
§ 36.10. Расчет поля излучения
227
г
ФИГ. 36.3.
Медленно движущийся источник, излучающий гравитационные волны. Начало пространственных координат расположено внутри источника. Размер источника R очень мал по сравнению с приведенной длиной волны R^f.. Существенный вклад в запаздывающий интеграл для Aliv (36.38) дает лишь область размером L ~ R % вокруг источника, поскольку вне источника, но еще в ближней зоне (R^ г < к) «псевдотензор энергии-нмпульса» убывает как Ilri (см. упражнение 36.7).
В волновой зоне t**v уже не убывает как IIri, а начинает убывать как I,V2; поэтому он претендует на то, чтобы описывать энергию, уносимую гравитационными волнами (но в действительности не может этого сделать без соответствующего усреднения). Если источник излучает волны достаточно долго, то вклады от волновой зоны в запаздывающий интеграл (36.38) могут стать заметными:
[^^Ізапазд ~ —рї' ^ ^'!запазд d?x ~ ^ г 2 dr . для г > Я]----1 t_______________
может иметь заметный вклад от больших г']—I
