Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
•
а- Построим произвольную окрестность Л" [в?5]. (Если J-(J+) натыкается где-нибудь на сингулярность пространства-времени, то Jf3 [#] должна быть выбрана настолько малой, чтобы сингулярность оставалась вне этой окрестности.)
б. Построим в ‘ [а?] П J~ (J+) последовательность событий {е?5;}, которая сходится к событию аР.
в. Для каждого і построим причинную кривую ^j, простирающуюся от SPi до J + .
г. Пусть &1 является пересечением tSi с «/P[aP], т.е. с границей J'\Э*\. Пос-
2
144 34. Глобальные методы, горизонты и сингулярности
кольку J' [Э51] есть компактное множество, последовательность Qi должна иметь предельную точку Q.
Д. Поскольку существуют причинные кривые OT событий SPi, сколь угодно близких к -SP, до событий Qi, сколь угодно близких к (Л, то должна существовать причинная кривая от SF до Q. Назовем эту кривую
е. Поскольку Q есть предельная точка последовательности событий в /" (J+), то Q
• • лежит либо в J- (J+), либо на ее границе J~ (J+), либо в /“ (J+) и /" (J+) одно-
•
временно. Предположим, что Q ? J~ (J+).
1) Тогда некоторая малая окрестность JT [б] целиком содержится в /"(J+).
2) Построим причинную кривую OT SF до J+, идя от <9* до Q вдоль причинной кривой затем от & вдоль времениподобной кривой к некоторому событию M ? Ж [&] и затем от 3t до J+ вдоль некоторой причинной кривой и производя сглаживание кривых в точках стыковки Q и 31.
3) Поскольку эта кривая от SF до J+ имеет времениподобный сегмент, ее можно слегка сместить, оставляя при этом причинной, так, чтобы она достигла любого наперед заданного события df в некоторой малой окрестности JfT' [аЯ]. Ho это означает, что J-" [аЯ] czJ~ (J+), следовательно,
S5 ?/-(J+), что противоречит определению SF.
В направлении к!
/ \Времениподобна Jt [2]
первоначал ьному
Такого не может быть!
Вывод: Q Є J-(J+).
ж. Согласно лемме Б, поскольку SF^J(J+) и Q^ (J+), то SF Q. Ho % есть направленная в будущее причинная кривая от # до Q. Следовательно, по лемме А, % является нулевой геодезической.
з. Поскольку кривая $ пересекает Z-(J+) в Q, повсюду между SF и Q она дол-
жна лежать в (J+) U /' (J+) (лемма В). Заменив Q на произвольную точку, лежащую на кривой cG между -SF и (2, применим к этой точке рассуждения, приведенные выше в пункте «е». Тем самым приходим к выводу, что всюду
между -SP и Q лежит в /'(J+).
Резюме. Через каждое событие SP ? J~ (J+) проходит нулевая геодезическая которая, если проследить за ней от SP в будущее, лежит в J~ (J+). Эта нулевая геодезическая называется «генератором» /“ (J+).
2. Продолжим генератор от SP до Q и затем еще дальше вперед. Может ли
он когда-нибудь выйти из Z-(J+)? Нет! Для доказательства предположим, что % выходит из /"(J+) в некотором событии SF' ^ J~ (J+).
§ 34.4. Глобальная структура горизонтов
145
2
Так С проходить не может
а. Чтобы прийти к выводу о том, что существует нулевая геодезическая
*8' cz /"(J+), простирающаяся в причинное будущее от SP1 до некоторого события полностью повторим все построение первого этапа доказательства, заменив SP событием Qp'.
б. Поскольку SP[d J-(J+) и (§'?/"(J+), то, согласно (лемме Б, SP^Q,'.
в. Тогда, согласно лемме А, нулевая геодезическая % от SP до ИР' и нулевая геодезическая tBt от SP' до (?' имеют совпадающие в SP' касательные векторы (с точностью до нормировки). В таком случае, если перенормировать аффин-
ный параметр, %' становится продолжением %, а это озна-чает, что tS не выходит из / " (J+) в SP'.
Вывод. Если генератор входит в /" (J+), то прослеженный в
будущее, он уже никогда не выйдет из Z-(J+).
3. На фиг. 34.7 дан пример того, как нулевая геодезическая,
прослеженная в будущее, может войти в /” (J+) и стать
генератором. Лемма В гарантирует, что Jесли нулевая геодезическая входит
в J-(J+), то она выходит из /"(J+).
4. Как видно из примера на фиг.34.7, в «каустике» [т.е. в точке, где генераторы
входят в /" (J+)] генераторы могут пересекаться друг с другом. Проследим за
генератором $ в причинное будущее от точки, где он входит в /" (J+). Может ли он когда-нибудь вновь пересечься с другим генератором? Нет. Для доказательства предположим, что в событии SP генератор $ пересекает другой генератор 3).
а. В причинном будущем относительно SP оба генератора всегда лежат в /" (J+). Таким образом, событиями .?*, изображенные на рисунке, лежат в
J-(J+).
б. Поскольку SP находится в причинном будущем по отношению
к каустике, где % входит в /"(J+), то существует событие
& E J~ (J+) П расположенное в причинном прошлом относительно SP.
в. Поскольку (3, ? J-(J+) и ? J-(J+), го (лемма Б).
г. Лемма А, примененная к кривой простирающейся от (? до SP, и к кривой ?$, простирающейся от SP до SI, гарантирует, что касательные векторы и<@ и в SP совпадают друг с другом (с точностью до нормировки) и что поэтому (с точностью до нормировки) геодезические
и 3) тождественны. Это противоречит предположению, что % и 3) суть ,отличные друг от друга генераторы, которые пересекаются в SP.
