Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
(1— Г/2М) er/2M = V2-U2 = tgy(lj5 + |) tgi(lj) — I), (34.Зв)
dS 2=32Л?І-------e-r/2M(_^2 + rf|2)---------------------^r2(J02+sin2 0^2). (34.3г)
Г 4cos2 -g-(гр + g) cos2 Y (^-?)
На получаемой в результате координатной диаграмме (фиг. 34.3) ясно видны причинные связи между горизонтами, сингулярностями и различными областями бесконечности.
34.1. Плоское пространство-время в координатах г|з, %, 0, ф
а. Выведите уравнение (34.2в) из (34.1), (34.2в) и (34.26). б. Покажите , что области I+, I I0, J + H J - плоского пространства-времени расположены следующим образом:
I+-. г): = я, I = 0;
1~: т]э = —л, H = O;
/о; г|э = О, I = п; (34.4)
J+: + I = я, —я <я}1 — I <л;
J-: — I = —я, —я сф + I <я
[см. уравнения (34.2)]. Это те области, которые изображены на фиг. 34.2.
в. Покажите, что в плоском пространстве-времени на координатной диаграмме т]з, ? (фиг. 34.2) радиальные нулевые линии составляют с вертикальной осью угол в 45° и что угол между этой осью и нерадиальными нулевыми линиями меньше 45°.
34.2. Шварцшильдовское пространство-время в координатах 1, 0, ф
а. Выведите уравнения (34.Зв) и (34.Зг) из (34.3а), (34.36) и уравнений Крускала — Шекереса (31.14).
б. Пользуясь уравнениями (34.3), объясните форму координатной диаграммы на фиг. 34.3.
34.3. Пространство-время Рейснера — Нордстрема
а. Покажите, что существует такая система координат, в которой геометрия Рейснера — Нордстрема с 0 < | Q | < M (упражнения 31.8 и 32.1) имеет вид
ds2 = F2 (-^2 + d%г) + г2 (d62 + sin2 0 cfy2), (34.5) F = F (т|э, |), г = г (т]з, ?),
и в которой горизонты и бесконечности такие, как показано на фиг. 34.4. (Замечание. Это упражнение является очень трудным, пока вы не располагаете решением упражнения 31.8, г. Решение см. в работе [49].)
2
упражнения
2
134 34. Глобальные методы, горизонты и сингулярности
ФИГ. 34.4.
Пространство-время
Нордстрема
1-
2 M
dr
Рейснера
-?)«¦+
-f Г2 (d02 +
l—2Mir + Q2/r2
+ sin2 0 гіф2)
с 0 < I Q I < M, изображенное в новой системе координат (i|), ?, 0, ф), в которой линейный элемент имеет вид
ds2 = F2 (—dx|)2 + dg2) + г2 (d62 + sin2 0 dф2)
? (см. упражнение 34.3). На этой координатной диаграмме обнаруживается глобальная структура геометрии, включая сингулярности при г — О, горизонты при T=Tjr = M + + ~\f M2 — Q2 (которые ограничивают связь с J+ и J-), нулевые поверхности при г = r_ = M — УM2 — Q2 (которые ограничивают связь с сингулярностями) и различные асимптотические плоские бесконечности I+, J-, I0, J+ и Cf-. На этой диаграмме можно прочесть «причинную структуру» геометрии, т. е. какие области могут сообщаться друг с другом, а какие — нет. Детальное обсуждение этой геометрии см. в работах [48, 49]. Рассмотрение коллапса заряженных звезд, для которых эта геометрия является внешним гравитационным полем, см. в работах [185—188].
§ 34.3. Причинность и горизонты 135
2
б. Воспользуйтесь фиг. 34.4, чтобы сделать следующий вывод: геометрия Рейснера — Нордстрема описывает «горловину», или мост, соединяющий два асимптотически плоских пространства-времени, который: 1) расширяется до состояния с максимальной длиной окружности; 2) вновь сжимается до состояния с минимальной длиной окружности, причем в ходе этого сжатия его внешние области перестают быть связанными с двумя I0 (т. е. с двумя пространственными бесконечностями) и соединяются с двумя сингулярностями г = 0; 3) происходит отскок; 4) вновь расширяется, и в процессе этого расширения его «внешние области» отделяются от двух сингулярностей и вновь соединяются с двумя I0 в двух новых асимптотически плоских вселенных; 5) замедляет свое расширение до полной остановки; 6) вновь сжимается до состояния с минимальной длиной окружности, и в процессе этого сжатия его внешние области отделяются от двух I0 и вновь соединяются с новой парой сингулярностей г = 0, и так до бесконечности.
§ 34.3. ПРИЧИННОСТЬ И ГОРИЗОНТЫ
Обратимся теперь к глобальным 1J методам исследования черных дыр, имея в виду следующие цели: 1) дать определение понятия «горизонт» (данный параграф), 2) вывести глобальные геометрические свойства горизонтов (§ 34.4) и 3) доказать второй закон динамики черных дыр (§ 34.5). Все рассмотрение ограничивается такими пространственно-временными многообразиями, которые 1) содержат по крайней мере одну асимптотически плоскую область («внешнюю вселенную», область «вне черных дыр») и 2) являются «ориентированными во времени». Под «ориентацией во времени» мы понимаем, что в каждом событии пространства-времени можно сделать выбор между двумя различными световыми конусами, один из которых является световым конусом будущего, а другой — прошлого, причем имеется в виду, что этот выбор может производиться непрерывным образом от события к событию по всему пространству-времени.
Начнем с определений различных причинных соотношений между событиями и областями пространства-времени (фиг. 34.5).
Определение: S или, что эквивалентно, S1 Si («собы-
тие предшествует событию й»; «событие ® следует за событием &») означает, что существует по крайней мере одна гладкая, направленная
