Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
упражнения 33.8. Координаты Керра — Шилда
а. Покажите, что в координатах Керра направленная внутрь нулевая конгруэнция (33.39) имеет форму (33.42а). Покажите также, что после замены аффинного параметра на новый А,нов = = Ястар E ковариантные компоненты волнового вектора равны
^(внутрь) = Q1 ^внутрь) = 0) дцнутрь) = а si[120i ^вутрь) =
(33.43)
б. Введите новые координаты t, х, у, z, определяемые соотношениями
X -f iy = (г + ia) е1ф sin 0, z = г cos 0, t=V — г, (33.44а)
и покажите, что в этой «системе координат Керра — Шилда» метрика имеет вид
ds2 = (Пар + 2 Я йГУтрь) 4внутрь)) dfdJ, (33.446)
где
Mr-I-Q2
Н = T^+lHzir)2' (33.44в)
Пвнутрь) л ~_ __ г (х dx-\-y dy) а(х dy у dx) _ z dz _44r)
a r2 _j- a2 r '
Аналогичные координаты, в которых метрика принимает форму
Cls2 = (Tla3 + 2НкГ*уту)к(ГУтУ)) d^ dx^
получаются преобразованием координат, которое приведено, например, в работе [101].
§ 33.7. Энергия, заключенная в черных дырах Ц5
2
33.9. Нулевые генераторы горизонта
а. Покажите, что в координатах Керра нулевая конгруэнция, направленная наружу, описывается касательным вектором
Ж=0’ i.”E- §~2а-Т’ Ж = 2(<* + «»)-f. (33.45)
б. На горизонте (Д = 0) компоненты этого волнового вектора становятся сингулярными, но не из-за сингулярности в системе координат (поведение координат вполне нормально), а из-за неудачной нормировки аффинного параметра. Пусть A0 есть константа, определенная для каждой направленной наружу геодезической, как значение величины Д для события, когда геодезическая пересекает поверхность V = 0. Перенормируйте затем аффинный параметр для каждой геодезической следующим образом:
^hob = (Я/Ло) ^отар• (33.46)
Покажите, что получающиеся в результате волновые векторы
JU0, -| = д0, § = 2а%. f- = 2(r’ + »*)4l (33.45-)
при приближении к горизонту имеют нормальное поведение; покажите также, что на горизонте геодезические принимают форму
0 = const, r = r+ = const, ф = 2аК, F = 2 (г“ а2) к. (33.47)
в. Покажите, что из всех траекторий пробных частиц только эти траектории остаются на горизонте сколь угодно долго. (Указание. Исследуйте световой конус.)
§ 33.7. ЭНЕРГИЯ, ЗАКЛЮЧЕННАЯ В ЧЕРНЫХ ДЫРАХ, И ИЗВЛЕЧЕНИЕ ЭНЕРГИИ ИЗ ЧЕРНЫХ ДЫР [109]
Когда какой-либо объект падает на черную дыру, он изменяет ее массу, заряд и собственный момент импульса (первый закон динамики черных дыр, дополнение 33.4). Когда падающий объект является достаточно большим, его падение приводит к сильному гравитационному и электромагнитному излучению. Расчет испущенного излучения, а также энергии п момента импульса, которые им уносятся, является необходимой предпосылкой любого расчета предельного состояния черной дыры; такой расчет представляет собой невероятно сложную задачу. Ho если объект
8*
Когда малый объект падает в большую черную дыру:
2
116 33. Черные дыры
1) излученная энергия пренебрежимо мала по сравнению с массой: покоя объекта
2) масса, заряд и момент импульса черной дыры меняются на ДЛГ = ІГ,
АС> = е,
A* = L „
очень мал (размер объекта много меньше размера горизонта, масса объекта много меньше массы дыры) и его заряд также очень мал, то можно пренебречь излучением объекта при каждом обороте вокруг черной дыры. Например, для гравитационного излучения имеем
энергия, испущенная за оборот масса покоя объекта масса покоя объекта масса дыры
(33.48)
(см. § 36.5, а также [159]). Поскольку излучение пренебрежимо мало, обратное действие излучения также пренебрежимо мало, и с большой точностью можно считать, что объект движется по геодезической для пробной частицы. В этом случае первый закон динамики черных дыр применяется просто и непосредственно.
Рассмотрим сначала малый объект, который падает издалека прямо на черную дыру. Согласно первому закону, это приводит к следующим изменениям массы, заряда и момента импульса черной дыры:
ДМ = E = («энергия падающего объекта на бесконечности»),
(33.49а)
AQ = е = (заряд падающего объекта), (33.496)
/составляющая момента импульсах AS = Д I SI = Lz = I падающего объекта вдоль оси . (33.49в)
\вращения черной дыры /
Падающий объект изменит также направление S. В асимптотической лоренцевой системе отсчета первоначальной черной дыры начальный вектор момента импульса направлен по оси z:
(?>г)пач — (*^.і:)нач = 0, (Sy)lia4 = 0.
Следовательно, только z-составляющая момента импульса падающего объекта может приводить к существенному изменению величины s. Ho X- и !/-составляющие Lx и Ly могут изменять направление S. Если скорость объекта на бесконечности пренебрежимо мала, то вызванные этим объектом изменения таковы (упражнение 33. 10):
ASx = Lx= — (sin фж) Y® — (ctg бес cos Ax) L,, (33.49г)
ASu = Lv = (cos фоо)У 0 —(ctg 0,«sin ф^) Lz, (33.49д)
А (^ + ^)1/2 = ]/"ё = (L2-L2z)1'2. (33.49?)
Здесь индекс оо означает, что величина берется в далекой от черной дыры точке орбиты («на бесконечности»)
Рассмотрим далее более сложный процесс, на который впервые обратил внимание Пенроуз [109]. 1. Бросим извне на черную дыру малый объект А с энергией на бесконечности Ea, зарядом ел и аксиальной составляющей момента импульса Lza. 2. Допустим.
