Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Ю* = Utt-ю2?*ф|1/2Л<. = (g-фо)1'2 (d^> — CO do, (33 21)
сог = (р/А1/г) dr, fi)e=pd0.
Более конкретно, покажите, что эти 1-формы являются ортогональными и что в дуальном базисе
dldt = U = 4-скорости локально невращающегося наблюдателя.
(33.22)
Покажите, что u = — Wi является полем 1-форм (da)4 Д Wt = 0; упражнение 4.4), свободным от вращения.
б. Иногда неправильно думают, что локально невращающийся наблюдатель является в некотором смысле локально инерциаль-ным. Чтобы избавиться от этого ошибочного представления, убедитесь, что 1) 4-ускорение такого наблюдателя отлично от нуля:
а = г? не j = Y V in I gtt — со2?фф I, (33.23)
2) если такой наблюдатель имеет при себе гироскопы и если он сообщает центрам масс гироскопов нужные ускорения, то он видит, что гироскопы прецессируют относительно его ортогональной системы отсчета (33.21) с угловой скоростью апрецесс = Г8?,в?+Г;ив8==
1 SxIl Г со.е А1/2со,г і (33.24)
2 L P ? P ® J’
іУказание. Cm. упражнение 19.2, уравнение (13.69) и относящееся к ним обсуждение. Коэффициенты связности легче всего вычисляются при использовании метода дифференциальных форм; см.
§ 14.6.1
33.5. Локальные световые конусы
Рассчитайте форму световых конусов, изображенных на диаграмме Керра для незаряженной (Q = 0) керровской черной дыры (часть Н,Е дополнения 33.2). В частности, введите новую временную координату
7 =F — г, (33.25)
§ 33.5. Уравнения движения для пробных частиц Ю7
для которой сечения постоянного t на диаграмме Керра являются горизонтальными поверхностями. На этой диаграмме по вертикали отложено t, по радиусу г и в азимутальном направлении ф; при этом принимается, что 0 = я/2 («экваториальное сечение черной дыры»).
а. Покажите, что световой конус, исходящий из точки с заданными t, г. ф, имеет следующую форму:
dr / d<P \ 2М/г ,TtZr 1 г2(<гф/йї)2 cqqoс„\
Т=,(ї)-І+4±У (ITW?-Т+Я77Г- <33-2ea)
б. Покажите, что световой конус пересекает поверхность постоянного радиуса вдоль кривых
drIdt = 0, = миа И Ймако (33.266)
где Qmhh и ?2макс даются выражениями (33.15а), (33.156) (минимально и максимально допустимые угловые скорости стационар-
ных наблюдателей).
в. Покажите, что на пределе статичности г = г0 (л/2) световой конус касается кривой, вдоль которой г, 0, ф постоянны.
г. Покажите, что световой конус пересекает поверхности постоянного ф вдоль кривых
л dv . 1 2^//г /OQ ОС V
— = 0, -г==—1 и (33.26в)
dt dt I + 2 М/г v '
д. Покажите, что световой конус касается горизонта.
е. Нарисуйте форму световых конусов при разных значениях радиуса.
ж. Опишите качественно, как должен выглядеть световой конус вблизи горизонта в координатах Бойера — Линдквиста. (Замечание. Он будет выглядеть совершенно «ненормально», поскольку в этих координатах на горизонте имеется сингулярность.)
§ 33.5. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ ПРОБНЫХ ЧАСТИЦ [Illj
Пусть пробная частица с электрическим зарядом е и массой покоя ц движется во внешнем поле черной дыры. Если бы черная дыра не обладала зарядом, то пробная частица двигалась бы по геодезической (4-ускорение равно нулю). Ho заряд создает электромагнитное поле, которое в свою очередь приводит к действующей на частицу силе Лоренца |xa = eF-u. (Здесь и есть 4-скорость частицы, а а = у„ и — ее 4-ускорение.)
УПРАЖНЕНИ
2
торный енциал заряженной ІОЙ дыры
108 33. Черные дыры
Уравнение геодезической а = 0 в случае отсутствия заряда эквивалентно уравнениям Гамильтона
dx^ Idk=^dSBldpvu, dpv/dk= — dSB/dx*1, (33.27а)
где к — аффинный параметр, нормированный таким образом, что
dldk = р = 4-импульс, (33.276)
и где
SB = «расширенный гамильтониан» = g^p^Pv (33.27в)
(см. упражнение 25.2). Аналогично (см. упражнение 33.6) уравнение для силы Лоренца ^a =eF-u в заряженном случае эквивалентно уравнениям Гамильтона, записанным в координатах Xtx и «обобщенных импульсах» л^:
dx^/dk = д$ё/дПп, dnjdk = — dSBjdx
(33.28а)
ісширенньш мильтониан я заряженной |юбной частицы произвольном ектромагпнтном !ле
!искривленном
іостранстве-
емени
Расширенный гамильтониан SBi выраженный через метрические коэффициенты в точке локализации частицы guv (ха), заряд частицы е и обобщенный импульс Лц, имеет следующий вид:
’ = т (Jtll — eAv) (лV — еАv)
(33.286)
(см. § 7.3 в книге [160], где приводится аналогичный расширенный гамильтониан в плоском пространстве-времени.)
Первое из уравнений Гамильтона для этого расширенного гамильтониана сводится к уравнению
pt*. = (4-импульс) = dx^ldk = л^ — еА11
(33.29а)
(л*1 выражено через Ptx, е и Л^); второе из уравнений Гамильтона при комбинировании его с первым сводится к уравнению для силы Лоренца
dpv/dk+r^ptpfi = eF^pv. (33.296)
pv, а не uv, поскольку "I_T
к = T/fX J
Для черной дыры Керра — Ньюмана векторный потенциал в координатах Бойера — Линдквиста может быть представлен в виде
A = — (it — a sin2 0d^>), в чем можно убедиться, проверив, что
dA = y (А?,,а — Aa^) ixa[\ix$ сводится к фарадеевской 2-форме уравнения (33.5).
