Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Гибель астрофизика происходит в три стадии: 1) ранняя стадия, когда его тело успешно сопротивляется приливным силам, 2) промежуточная стадия, когда оно постепенно уступает превосходящей силе, и 3) заключительная стадия, когда оно уже окончательно раздавлено.
На ранней стадии приливные силы можно исследовать с помощью уравнения геодезического отклонения, выраженного в ортогональной системе отсчета астрофизика со*, сор, со^, ю* (см. § 31.2). В этой системе отсчета неисчезающие компоненты тензора кривизны Римана даются выражениями (31.6):
ЯїріГ-^-
tfgW = 2M/r3, Я?ер~е=ЯрФ?Ф = -М/г3.
(32.24а)
Уравнение геодезического отклонения утверждает, что две свободно движущиеся частицы, мгновенно покоящиеся в локально инерциальной системе отсчета астрофизика и разделенные 3-вектором
Действие приливных сил. на тело человека, падающего в сингулярность г = о
Стадия 1: тело
сопр от и в ляется
деформации,
возникают
упругие
напряжения
64 32. Гравитационный коллапс
должны ускоряться в разные стороны с относительным ускорением, которое дается соотношением
Используя компоненты (32.24а) тензора кривизны, мы видим, что
Прежде чем применить эти уравнения к телу астрофизика, идеализируем нашу задачу и будем рассматривать тело (для простоты) в виде прямоугольного бруска массой р, = 75 кг, длиной / 1,8 м
в направлении е~, шириной и толщиной w « 0,2 м в направлениях е§ и ej. Затем вычислим напряжения, возникающие в такой идеализированной модели, которые препятствуют движению частиц тела вдоль расходящихся (и сходящихся) геодезических.
Из формы уравнений (32.24) с очевидностью следует, что главные оси тензора напряжений совпадают с е~, eg и (т. е. в базисе е~, е§, е^ тензор напряжений диагонален). Продольную компоненту напряжения в центре масс астрофизика можно оценить следующим образом. Элемент объема рассматриваемого тела с массой dji, расположенный на высоте h от центра масс (расстояние h измеряется вдоль направления в-), если бы ему позволили двигаться свободно, обладал бы ускорением а = (2Mlrs) h в направлении от центра масс. Чтобы не дать элементу объема ускоряться относительно центра масс, мускулы астрофизика должны создавать усилие
Эта сила дает вклад в напряжение, действующее перпендикулярно горизонтальной плоскости (плоскость е§ Д е^), проходящей через центр масс. Полная сила, действующая перпендикулярно этой плоскости, есть сумма сил, действующих на все элементарные массы, лежащие выше этой плоскости (она равна также сумме сил, действующих ла элементарные массы, расположенные ниже этой плоскости):
/dr2 = -f (2М/гг) gp, Щ* Idrt = — (М,/г3)^, D*l* Idx2= -(Mlrz)I*.
(32.246)
dF = CidiI = (2 MIri) IidlX.
I \iM ' 4 гЗ
область над плоскостью
0
Напряжение есть сила, деленная на площадь поперечного сечения W2, причем это отношение берется со знаком минус, посколь-
§ 32.6. Судьба человека, падающего в сингулярность 65
2
ку рассматривается натяжение, а не давление:
T_____ 1 Vм*___________I I - IQ15 М/МQ я™ (Ч2 2Ч&\
1 PP ~ 4 и>2гЗ ~ ш (г/1 км)3 см2- (oZ.ZSa;
Аналогично для компонент напряжения в направлениях Bg и в? в центре масс имеем
78 S = 7« = I jST * °-7 • 10“ тЩг S- • (32-256)
(Напомним, что давление в одну атмосферу равно 1,0*106 дин/см2.)
Человеческое тело не может выдержать натяжения или давления, превосходящего 100 атм « IO8 дин/см2; при этом оно обязательно будет разрушено. Следовательно, астрофизик, расположенный на свободно падающей поверхности звезды с массой, равной массе Солнца, будет убит приливными силами при радиусе звезды R ~ 200 км 2M л; 3 км.
К тому времени, когда размеры звезды станут много меньше ее гравитационного радиуса, барионы, содержащиеся в теле астрофизика, будут двигаться по геодезическим; его мускулы и кости совершенно перестанут противодействовать гравитационным силам. На этой заключительной стадии коллапса времениподобные геодезические представляют собой кривые, вдоль которых шварц-шильдовская «временная» координата t почти постоянна [ср. с сужением световых конусов вблизи г = 0 на фиг. 32.1, а также с уравнением (32.2) в пределе г 2М]. Ноги астрофизика касаются поверхности звезды при одном значении t, скажем t = = tf, в то время как его голова движется вдоль кривой, на которой t = th > t}. Следовательно, длина тела астрофизика растет согласно формуле
¦^астрофиз “
Igii (R)]1/2 [th - tt] = [2M/R]lh [th - tf\ ~ ~ІГ1/2~ (тИоллапс--тГ1/з. (32.26а)
R
Здесь т = [— j I Srr |1/2 dr + constJ — собственное время, каким
его измерил бы астрофизик, будь он жив, а тколлапс — момент времени, когда он попадет в г = 0. К тому же гравитационное поле вынуждает барионы тела астрофизика падать вдоль мировых линий, для которых 9 и ^ постоянны в течение заключительной стадии коллапса. Следовательно, площадь поперечного сечения тела уменьшается по закону
Ластрофнз = [?ее (R) g фф (R)]1'2 А0А ф ~Д2~ (Тколлапс ~т)4/3. (32.266)
Объединяя уравнения (32.26а) и (32.266), мы видим, что объем тела астрофизика уменьшается в течение последних мгновений коллапса следующим образом:
