Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
.общее ребро P
хотя они столь же многочисленны, как ребра, нельзя считать достаточными для определения всех длин ребер. Обязательно имеются соотношения, благодаря которым эти уравнения не являются независимыми. Эти уравнения не могут определить все детали в значительной мере произвольного процесса построения скелетной структуры. Они не могут определить эти детали, подобно тому как уравнения поля в общей теории относительности не могут определить систему координат. С заданным набором вершин (четырехмерное обобщение рисунков в дополнении 42.3) мы имеем еще а) право выбора расстояний между соседними слоями структуры и б) свободу выбора распределения заданного числа точек в пространстве на данном слое для достижения максимального возможного выигрыша в точности (большая плотность точек в областях с большей кривизной). Чтобы на основе исчисления Редже составить практическую программу для компьютера, мы должны обеспечить машину не только уравнениями узлов и начальными
§ 42.7. Применения исчисления Редже в прошлом 441
2
условиями, но также и определенными алгоритмами устранения всех неопределенностей, которые связаны с указанной свободой выбора.
Формулы трехмерной и четырехмерной геометрий, из которых гипердвумерные углы а и недостающие углы б определяются через длины ребер и только через них, кратко изложены Уилером ([206], стр. 469, 470 и 490) и Вонгом [419]. Редже [417] приводит формулу для тензора кривизны Римана, выраженного через недостающие углы и число ребер, проходящих в заданном направлении (см. также [206], стр. 471).
§ 42.7. ПРИМЕНЕНИЯ ИСЧИСЛЕНИЯ РЕДЖЕ В ПРОШЛОМ
Вонг [419] применил исчисление Редже к проблеме, в которой не проявляется никакой временной эволюции, и поэтому геометрию можно считать статической, и, кроме того, геометрия сферически симметрична. Он рассчитал геометрию Шварцшильда и геометрию Рейснера — Нордстрема с помощью метода построения скелетной схемы. Рассмотрим последовательность сфер, окружающих центр притяжения. Вонг аппроксимирует каждую из них двадцатигранником. Условие (§ 21.5)
(3)Д _ 16л (плотность энергии в\
~~ 3-пространстве /
дает рекуррентное соотношение для определения размера каждого двадцатигранника через размеры двух предшествующих. Ошибки, обусловленные таким скелетным представлением точной геометрии, лежат в интервале от ~10% до <1% в зависимости от метода исследования анализируемой величины и мелкости разбиения геометрии.
Процесс построения скелетной схемы геометрии следует отличать от простой записи уравнений в частных производных в виде разностных уравнений. В настоящее время имеются три примера построения скелетной структуры без разбиения пространства-времени до уровня отдельных симплексов. Первый пример — это первая часть работы Вонга, где временное измерение ни разу не фигурирует в явном виде, так что строительные блоки являются лишь трехмерными. Вторым примером служит альтернативное рассмотрение, также данное Вонгом, которое выходит за рамки симметрии по t, чтобы воспользоваться симметрией по 0 и ф. В этой трактовке пространство делится на сферические оболочки, в каждой из них геометрия является «псевдоплоской» в том же смысле, в каком является плоской геометрия бумажного колпака. Третий пример касается численного решения для гравитационного коллапса сферической звезды, полученного Мэйем и Уайтом [61]
Выражение недостающего угла через длины ребер
Применения исчисления Редже в прошлом
Частичная
скелетотшзация
2
442 42. Исчисление Редже
Надежды на будущее
в предположении симметрии ПО 0 И ф, HO не по г или t. Это разбиение на зоны имеет место исключительно в плоскости г, t. Каждая зона представляет собой сферическую оболочку. Отличие по сравнению с исчислением Редже (плоская геометрия внутри каждого строительного блока) состоит в «конусности», приписываемой каждой оболочке. Эти примеры показывают, что при построении скелетной схемы геометрии для вычислений вопрос обычно состоит не в том «применять эту схему или нет», а в том, «в какой степени» ее применять.
§ 42.8. БУДУЩЕЕ ИСЧИСЛЕНИЯ РЕДЖЕ
В заключение отметим, что скелетное исчисление Редже делает доступными для расчета такие проблемы, которые практически выходят за пределы возможностей обычных аналитических методов. Оно обеспечивает любую желаемую точность при достаточно мелком разбиении рассматриваемой области пространства-времени. С помощью пронумерованных строительных блоков оно предлагает также практический способ демонстрации результатов подобных вычислений. Наконец, можно надеяться, что истинно геометрический способ формулировки общей теории относительности, предложенный Редже, когда-нибудь сделает содержание эйнштейновских уравнений поля (картановский «момент вращения», сіт. гл. 15) четким и ясным и раскроет геометрический смысл так называемого «геометродинамического полевого импульса» (исследование проблемы начальных значений, связанной с вариационной проблемой общей теории относительности в исчислении Редже, см. § 21.12).
2
43. СУПЕРПРОСТРАНСТВО:
