Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Аппроксимация
непрерывных
геометрий
скелетными
структурами
Роль эйнштейнов* ского уравнения поля
в задании скелетной структуры
2
428 42. Исчисление Редже
Недостающий угол как мера кривизны в скелетной схеме:
1) в случае двух измерений
2) в случае п (или четырех) измерений
бранные так, чтобы дать хороший «выигрыш в точности», или исходя из других критериев.
Определив длины всех костей в интересующей нас части пространства-времени, представленного в виде скелетной схемы, можно отдельно изучать произвольно выбранную локальную совокупность костей. Таким способом можно выяснить все, что нужно, о геометрии этой области. Конечно, точность полученных данных зависит от того, насколько мелкой мы взяли скелетную структуру. Ho в принципе, пока мы работаем в рамках классической физики, мы можем неограниченно уменьшать элементы этой структуры и тем самым неограниченно увеличивать точность. Таким образом, в конце расчета мы получим каталог длин всех костей. Затем можно исследовать геометрию какой угодно пространственноподобной поверхности и, кроме того, ответить на множество других вопросов. Для этого мы должны лишь выбрать подходящие кости и выяснить, каким образом они соединяются друг с другом.
§ 42.3. СИМПЛЕКСЫ И НЕДОСТАЮЩИЕ УГЛЫ
Фиг. 42.1 напоминает, каким образом гладкую искривленную поверхность можно аппроксимировать плоскими треугольниками. Вся кривизна сосредоточивается в вершинах. Несмотря на первое впечатление, на ребре между двумя соседними треугольниками кривизны не существует. Вектор, параллельно перенесенный от А через BhCkDh затем перенесенный обратно по другому пути через С и В к А, возвращается к точке начала движения, не изменив своего направления, как легко можно видеть, если распластать этот комплекс треугольников на плоской поверхности. Только в том случае, когда этот путь образует петлю вокруг вершины, общей для А, В, С и D, вектор испытывает поворот. Величина этого поворота равна указанному на фиг. 42.1 недостающему углу б при этой вершине. Сумма недостающих углов по всем
вершинам всегда имеет одно и то же значение 4л, так же как поло-
вина интеграла от непрерывно распределенной скалярной кривизны [(2) R = 21а2 для сферы радиуса а], взятого по всей первоначальной гладкой фигуре
2 б; = у j <2>R d (поверхность) = 4л. (42.1)
по скелетной по истинной
геометрии гладкой геометрии
Обобщая пример двумерной геометрии, исчисление Редже аппроксимирует гладкое искривленное n-мерное риманово многоебразие в виде совокупности n-мерных блоков, каждый из которых не имеет кривизны, соединенных (п — 2)-мерными областями, в которых
§ 42.3. Симплексы и недостающие углы 429
ФИГ. 42.1.
2-геометрия с пепрерывно изменяющейся кривизной может быть аппроксимирована с произвольной точностью в виде многогранника, построенного из треугольников; для этого достаточно сделать число треугольников достаточно большим, а их размеры достаточно малыми. Геометрия каждого треугольника эвклидова. Кривизпа поверхности проявляется в величине недостающего угла при каждой вершине (наверху часть ABCD многогранника развернута на плоской поверхности).
сосредоточена вся кривизна (дополнение 42.1). Для четырехмерного пространства-времени общей теории относительности «узел», в котором сосредоточена кривизна, имеет форму треугольника, как схематически показано в нижнем ряду на фиг. 42.2. В примере, который там иллюстрируется, этот треугольник является общим для десяти тетраэдров. Между двумя следующими друг за другом тетраэдрами помещается четырехмерный симплекс. Все свойства этого симплекса определяются длинами его десяти ребер. Одной из характеристик является угол а между двумя указанными тетраэдрами, или «гранями» симплекса. Таким образом, а представляет собой угол, образованный этим симплексом в определенном узле. Суммируя углы а для всех симплексов, которые встречаются в данном узле и вычитая эту сумму из 2л,
получаем недостающий угол, соответствующий этому узлу. Суммируя затем с соответствующим весом (дополнение 42.1) недостающие углы в заданном малом ?г-объеме, мы получаем число, равное объемному интегралу от скалярной кривизны исходной гладкой тг-геометрии (дополнение 42.2).
430 42. И счисление Редже
ФИГ. 42.2.
Замкнутый набор строительных блоков, примыкающих к одному узлу. Верхний ряд — два измерения: слева схематическое расположение вершин eS0, .Jr, 2?, Vj, W относительно «узла» в вершине S0, справа то же, но элементарные треугольники изображены полностью. Средний ряд — три измерения: слева схематическое изображение, справа изображение в перспективе шести тетраэдров, которые соприкасаются в «узле» iP@L. Нижний ряд — четыре измерения, показано лишь схематически. Пять вершин ЭИ
принадлежат одному симплексу, т. е. четырехмерной области, внутри которой пространство является плоским. Пять вершин 3°й.312)% принадлежат следующему симплексу и т. д. по всему замкнутому набору симплексов. Два только что указанных симплекса имеют в качестве границы тетраэдр 3°(S.M3), внутри которого геометрия также плоская. Между этим тетраэдром и следующим 3'(k3t% имеется некоторый гипердвугранный угол а, прилегающий к «узлу» Величина этого угла полностью фиксируется
