Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
В мировой физике и математике спиноры были введены Kap-таном; его книга [416] является важным источником сведений по теории спиноров1).
*) О спинорах см. [511]. Спинорный формализм используется при расчетах взаимных превращений гравитонов и других частиц, см. [512—515].— Прим. ред.
2
42. ИСЧИСЛЕНИЕ РЕДЖЕ
Необходимость исчисления Редже в качестве вычислительного аппарата
Эта глава целиком относится к курсу 2. В качестве подготовительного материала для этой главы необходима гл. 21 (вариационный принцип и формализм начальных значений). Эта глава не обязательна в качестве подготовительного материала для последующих глав, хотя она будет полезна при чтении гл. 43 (динамика геометрии).
§ 42.1 ЗАЧЕМ«НУЖНО ИСЧИСЛЕНИЕ РЕДЖЕ?
Теория гравитации вступает в эпоху, когда необходимо исследовать все более и более сложные ситуации. Приблизительно вплоть до 1965 г. проблемы, представлявшие центральный интерес, можно было почти всегда решить с помощью идеализаций, рассматривая частные случаи особой симметрии или особой простоты. Геометрия Шварцшильда и ее обобщения, космология Фридмана и ее обобщения, соединение шварцшильдовской и фридмановской геометрий для описания коллапса связанного скопления вещества, колебания релятивистских звезд, слабые гравитационные волны, распространяющиеся в плоском пространстве,— все эти и другие проблемы были разрешены элементарными методами.
Ho сегодня мы вынуждены осмысливать такие ситуации, в которых симметрия отсутствует и которые не поддаются теории возмущений. Как меняется форма двух черных дыр и сколько гравитационного излучения они излучают при соударении и слиянии друг с другом? Каковы структура и свойства сингулярностей в конечной стадии гравитационного коллапса, предсказываемых теоремами Пенроуза, Хоукинга и Героча? Может ли Вселенная, начинающая свое расширение из полного хаоса, быстро стать однородной за счет процессов, подобных неоднородным колебаниям в модели перемешанного мира?
Чтобы разрешить такие проблемы, необходимо овладеть новыми типами математических аппаратов, и в ответ на эту настоятельную необходимость разрабатываются новые аппараты. Одним из примеров таких аппаратов являются «глобальные методы» (гл. 34). Другой пример — исчисление Редже [417] (см. также [206], стр. 467—500).
§ 42.2. Краткое описание исчисления Редже 427
2
§ 42.2. КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ ИСЧИСЛЕНИЯ РЕДЖЕ
Рассмотрим геодезический купол, покрывающий большую аудиторию, составленный из множества плоских треугольников, соединенных ребро к ребру, вершина к вершине. По аналогии с этим представим себе пространство-время в исчислении Редже как составленное из плоских пространственных «симплексов» (четырехмерных объектов, принадлежащих следующей последовательности: два измерения — треугольник, три измерения — тетраэдр, четыре измерения — симплекс), соединенных друг с другом грань к грани, ребро к ребру, вершина к вершине. Указать длины ребер — это все, что нужно инженеру, чтобы узнать форму свода, и все, что нужно ученому, чтобы узнать геометрию пространства-времени, о котором идет речь. Плавный свод над аудиторией можно с произвольной точностью аппроксимировать геодезическим куполом, построенным из достаточно малых треугольников. Гладкое пространство-время можно аппроксимировать сколь угодно точно совокупностью примыкающих друг к другу достаточно малых симплексов. Таким образом, исчисление Редже, выходящее за рамки привычных алгебраических выражений для метрики, дает способ исследования тех физических ситуаций, которые, как чаще всего и бывает, не обладают сферической симметрией, и даже систем, в которых симметрия вообще отсутствует.
g Конструктор по желанию может придать своду любую форму; поэтому он обладает большей свободой, чем исследователь, который наносит на карту геометрию пространства-времени. Задав эту геометрию на некотором пространственноподобном сечении, которое для удобства можно назвать «теперь», исследователь начиная с этого момента уже не может влиять на эту геометрию. Эйнштейновский геометродинамический закон является полностью детерминистическим. В переводе на язык исчисления Редже этот закон позволяет вычислить длины граней новых симплексов, исходя из размеров предшествующих симплексов. Хотя сама геометрия определяется детерминированным образом, этого нельзя ‘сказать[о способе ее аппроксимации. Начальная прострапствен-ноподобная гиперповерхность («теперь») аппроксимируется совокупностью тетраэдров, соединенных грань к грани, но сколько будет этих тетраэдров и где будут располагаться их вершины, зависит от желания исследователя. Он может сделать так, чтобы в этой скелетной схеме «кости» располагались тем гуще, чем больше кривизна, добиваясь тем самым максимального выигрыша в точности при заданном числе точек. Некоторая свобода в выборе длин костей остается и в том случае, когда мы применяем геометр одинамический закон в том виде, в каком его дал Редже [417], для)расчета будущего, исходя из прошлого. При любой попытке составить программу для компьютера эта свобода окажется гибельной, если программист не избавится от всех неопределенностей, добавив дополнительные условия по собственному выбору, подо-
