Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Резюмируя, можно сказать: 1) классическая геометродинамика в принципе представляет собой метод, алгоритм, правило для вычисления и построения листа истории, который пересекает все суперпространство; 2) геометрии (3’^, которые лежат на этом листе истории, назовем ДА 3-геометриями, а несоизмеримо более многочисленные геометрии (3)^, которые на этом листе не лежат, назовем НЕТ 3-геометриями; 3) ДА (3)^ служат строительными блоками геометрии <4),^, являющейся классическим пространством-временем; 4) переплетению и взаимной связи этих строительных блоков и обязана своим существованием, своей размерностью и своей структурой геометрия (4)^; 5) каждая (3).^ обладает в этой структуре своим жестко фиксированным положением; 6) в этом смысле можно сказать, что «многопалое время» каждой 3-геометрии характеризуется самой взаимосвязанностью построенной структуры. Немного подробнее об этой концепции «3-геометрии как носителя информации о времени» говорят Байерлейн, Шарп и Уилер [429].
Как отличается эта концепция от обычного понимания прост-ранства-времени! Согласно обычным представлениям, геометрия пространства-времени строится из элементарных объектов, или точек, называемых «событиями». Здесь же, напротив, первичной концепцией служит 3-геометрия in abstracto, и из нее уже выводится понятие события. Таким образом, 1) событие лежит на пересечении одной (3)^ с другой (3)^ и 2) оно обладает временной связью (раньше, позднее или одновременно) с некоторой другой геометрией <3)^, которая в свою очередь 3) возникает в результате взаимных пересечений всех остальных (3>^.
При переходе от классической теории к квантовой'мы отказываемся от понятия пространства-времени, сохраняя его лишь в полуклассическом приближении. Следовательно, мы отказываемся и от любой непосредственной возможности определить
§ 43.2. Динамика геометрии на языке суперпространства 449
2
такое понятие, обычно считаемое элементарным, как «событие». Однако теория сама по себе здесь, как и везде [430], определяет естественным для нее образом принципиальные процедуры измерения тех величин, которые в принципе измеримы.
Квантовая теория нарушает четкое разграничение между ДА 3-геометриями и НЕТ 3-геометриями. Вместо ДА или НЕТ она приписывает каждой 3-геометрии амплитуду вероятности
гр = яр (<3>^). (43.1)
Эта амплитуда вероятности имеет наибольшее значение вблизи классически предсказанного листа истории и резко спадает вне зоны конечной толщины, простирающейся на небольшое расстояние по обе стороны этого листа.
Если вместо физически оправданной функции амплитуды вероятности взять типичное соответствующее решение волнового уравнения, то следует ожидать, что мы не увидим ничего похожего на классическую геометродинамику. Типичная функция амплитуды вероятности распределена по всему суперпространству.
Здесь нет ничего удивительного. Уже в классической теории мы
должны рассматривать функцию Гамильтона — Якоби
5 = 5 С3>^), (43.2)
распределенную по всему суперпространству. Более того, эта «динамическая фазовая функция» классической геометродинамики сразу же дает фазу функции тр, согласно формуле
I медленно меняющаяся \ гр(<3>?) = . e(i/ft)S(<3>3) (43.3)
\ амплитудная функция /
что указывает на нелокализованность обеих функций -ф и S.
Динамика впервые проявляется со всей отчетливостью, когда достаточно большое число подобных распределенных функций амплитуды вероятности накладываются друг на друга и образуют локализованный волновой пакет, как в элементарных примерах, приведенных в дополнениях 25.3 и 25.4; таким образом,
ip = C1Ip1 + с2яр2 + ... . (43.4)
Там, где фазы отдельных волн совпадают, происходит конструктивная интерференция:
S1 (<3>^) = S2 (<3>^) = . . . . (43.5)
Это условие отличает ДА 3-геометрию от НЕТ 3-геометрии. Оно служит для построения листа истории в суперпространстве. Это ключ к динамике геометрии. Более того, в этом уравнении ни слова не говорится о квантовом принципе. He удивительно поэтому, что уравнение конструктивной интерференции (43.5) кратчайшим путем от классической теории приводит к квантовой.
Амплитуда вероятности для 3-геометрии
Волновой пакет включает и классическую геометродинамику
29—018
450 43. Суперпространство: арена для динамики геометрии
§ 43.3. УРАВНЕНИЕ ЭЙНШТЕЙНА — ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ
Должны ли мы выписывать дифференциальное уравнение для функции Гамильтона—Якоби S ({3)&), решать его и затем исследовать свойства полученного решения? Проще поступить наоборот: исследовать свойства решения и на основе результатов этого исследования выяснить, какому уравнению должна удовлетворять динамическая фаза, или действие S.
Принцип наименьшего действия Гильберта записывается в виде
-^Гильберт = (1/16л) y°R( — g) 1/2SJ1X = экстремум. (43.6)
После выделения полных производных под знаком интеграла оставшаяся часть [см. (21.13) и (21.95)] принимает вид
(1/16л) Jadm =/истин = (1/16л) j ^n13SguIdt +
+ N?/4l+ Ng~lit[± (Sp п)2 — Sp (П)2] + 27У;Л^| #х. (43.7)
В (43.7), но не в (43.6) g обозначает детерминант трехмерного метрическою тензора gij, a R — скалярный инвариант кривизны 3-геометрии; индекс (3) опущен для простоты. Интеграл берется 1) от пространственноподобной гиперповерхности, на которой 3-геометрия задается метрикой g[j (х, у, z), 2) до пространственноподобной гиперповерхности, на которой 3-геометрия задается метрикой gij (х, у, z). Какая бы метрика ни выбиралась в области пространства-времени между этими гиперповерхностями, ее следует теперь рассматривать подобранной так, чтобы экстремизиро-вать интеграл. Поэтому значение интеграла /дсм превращается в функционал, зависящий только от метрик на этих двух гиперповерхностях.
