Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Естественные координаты несовместимы на расстоянии I > (ускорение)*1
Ортонормирован-
ная тетрада
базисных
векторов,
переносимых
равномерно
ускоренным
наблюдателем
2
216 ?- Ускоренные наблюдатели
Ортовормнроіан-
ная тетрада
произвольно
ускоренного
наблюдателя
должна быть
«невращающейся»
Тернин
«невращающаяся» означает наличие вращения лишь во времеииподоб-ной плоскости 4-скороети и 4-уекорения
Математическое описание вращения в 3-пространетве
буст (преобразование Лоренца с конечным значением скорости) в направлении оси 1 с таким параметром скорости, чтобы вектор е0-совпал с 4-скоростыо наблюдателя. Тот факт, что все эти векторы ортогональны друг другу и имеют единичную длину, формально выражен в соотношении
eu,*6vr==^]n'V» (6.7)
§ 6.5. ТЕТРАДА, ПЕРЕНОСИМАЯ! ПЕРЕНОСОМ ФЕРМИ — УОЛКЕРА НАБЛЮДАТЕЛЕМ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ УСКОРЕНИЕМ
Теперь перейдем от наблюдателя (или объекта), совершающего гиперболическое движение, к наблюдателю (или объекту), ускорение которого, оставаясь всегда конечным, произвольным образом изменяется во времени. Здесь мы тоже наложим на движущуюся бесконечно малую систему отсчета, или тетраду, три условия: 1) базисные векторы тетрады в должны быть ортонормированы [соотношение (6.7)1, 2) в каждый момент времени базисные векторы должны образовывать систему покоя наблюдателя (во'= и) и 3) тетрада должна быть «невращающейся».
Последнее условие требует пояснений. Базисные векторы тетрады в каждый момент собственного времени т должны быть связаны преобразованием Лоренца в^l-(T) = Avlt' (т)ву с базисными векторами е0, Q1, в2, в3 некоторой заданной инерциальной системы. Тогда базисные векторы тетрады в два последовательных момента времени также должны быть связаны друг с другом преобразованием Лоренца. Ho преобразование Лоренца можно представить себе как «вращение» в пространстве-времени; 4-скорость и, величина которой всегда равна единице, меняет свое направление. Поэтому уже само понятие ускорения подразумевает «вращение» вектора 4-скорости. Как же тогда следует понимать требование, чтобы тетрада была невращающейся? Потребуем, чтобы от момента к моменту тетрада вц-(т) изменялась ровно настолько, насколько этого требует изменение и = в0' без всякого дополнительного произвольного вращения. Другими словами, 1) допустим неизбежное псевдовращепие во времениподобной плоскости, определяемой
4-вектором скорости и ускорением, HO 2) исключим все обычные повороты трех пространственных векторов.
В нерелятивистской физике поворот вектора (компоненты Vi) описывается с помощью вектора мгновенной угловой скорости (компоненты (oj). Эта угловая скорость появляется в выражении для скорости изменения Vfi
(dvt/dt) = (D)X v)t = Bijfc(I)^ft. (6.8)
Имея в виду обобщение на четырехмерное пространство-время, полезно представить себе, что вращение происходит в плоскости.
§ 6?. Тетрада, переносимая переносом Ферми — Уолкера 217
2
перпендикулярной вектору угловой скорости ю. Поэтому перепишем (6.8) в виде
dvt/dt= — QthVkt (6-9)
где
Qjh = —Qhj = ®ieufc (6.10)
имеет ненулевые компоненты только в плоскости вращения. Другими словами, полезней говорить о «вращении в (1, 2)-плоскости», чем о вращении вокруг 3-оси. Понятие «плоскости вращения» переносится на случай четырех измерений. Там вращение в (1, 2)-плоскости оставляет неизменной не только компоненту скорости V8, но также и V0. Четырехмерное определение вращения имеет вид
4?=-й“Ч, где Qllv--Qr (6.11)
ОТ
Для проверки справедливости этого определения обобщенного вращения, или бесконечно малого (инфинитезимального) преобразования Лоренца, убедимся, что оно оставляет инвариантной длину
4-вектора:
d (VliV^)IdT = 2v^ (dv^/dx) = —20^^=0* (6.12)
Последнее выражение в цепочке равенств равно нулю, так как тензор Qllv антисимметричен, тогда как VllVv симметрично. Отметим также, что антисимметричный тензор Qllv («матрица враще-
ния», «инфинитезимальное преобразование Лоренца») обладает 4 X 3/2 = 6 независимыми компонентами. Это число совпадает с числом компонент конечного преобразования Лоренца (три параметра пространственных вращений плюс три параметра компонент буста). В нашем случае «инфинитезимальное преобразование Лоренца» должно: 1) генерировать соответствующее преобразование Лоренца во времениподобной плоскости, натянутой на 4-скорость и 4-ускорение, и 2) исключать вращение в любой другой плоскости, в частности в любой пространственноподобной плоскости. Этим требованиям можно удовлетворить единственным образом с помощью преобразования
QP4 = CiixUv—OvU*1, т. е. Q = аДи. (6.13)
Применим это преобразование вращения к пространственноподобному вектору w, ортогональному и и a (u-W = Oh a*w = 0). Сразу же получаем QilvWv = 0, откуда следует отсутствие пространственного вращения. Теперь проверим правильность нормировки Qliv в уравнении (6.13). Применим инфинитезимальное преобразование Лоренца к вектору 4-скорости наблюдателя и. Для этого подставляем = и** в (6.11), откуда получаем
