Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Из всех основ физики наиболее твердо установленной следует считать специальную теорию относительности; из всех положений специальной теории относительности сильнее всего звучат следующие. 1. Пространство-время отнюдь не расслоено, а однородно и изотропно в любой достаточно малой области («локальной области»), такой, что гравитационные эффекты, вызывающие приливное воздействие («кривизна пространства-времени») пренебрежимо
§ 13.2. Метрика 373
2
малы. 2. He существует таких локальных экспериментов, с помощью которых можно было бы отличить одну локально инерциаль-ную систему отсчета от другой. 3. В каждой локально инерциальной системе отсчета скорость света имеет одно и то же значение.
4. Понятию разделения во времени невозможно придать не зависящий от системы координат смысл («никакого ньютоновского расслоения»). 5. Между любыми двумя близкими событиями существует не зависящий от системы отсчета и от координат пространственно-временной интервал («риманова геометрия»). 6. Пространство-время всегда и везде по своему характеру локально лоренцево («локально лоренцев характер римановой геометрии»).
Какая математика приводит ко всем этим физическим свойствам? Метрика; метрика, которая является локально лоренцевой (§13.2 и 13.6). Все остальное из нее следует. В частности, метрика разрушает слоистую структуру ньютоновского пространства-времени вместе с его гравитационным потенциалом и координатой мирового времени. Ho остаются нетронутыми наиболее глубокие особенности ньютоновской теории тяготения: 1) принцип эквивалентности (воплощенный в описании свободного падения с помощью геодезических, § 13.3 и 13.4) и 2) кривизна пространства-времени (мерой которой являются приливные эффекты, § 13.5).
Весь небоскреб из векторов, форм, тензоров (гл. 9), геодезических, параллельного переноса, ковариантной производной (гл. 10) и кривизны (гл. 11) покоился до сих пор на разрушающемся фундаменте — на ньютоновской физике и законе геодезических, основанном на ньютоновской физике. Ho как только вводится метрика, у небоскреба появляется новый фундамент без единой трещины. Необходимо внести только одно изменение: закон геодезических должен быть введен по-новому, релятивистским способом, основанным на метрике (§ 13.3 и 13.4). Оказавшись на фундаменте из метрики, кривизна пространства-времени приобретает ряд дополнительных и более сильных свойств (небоскреб надстраивается и заново отделывается), изучаемых в § 13.5 и в гл. 14 и 15; эти свойства почти неизбежно ведут к уравнению поля Эйнштейна.
§ 13.2. МЕТРИКА
Метрика пространства-времени, метрика искривленного пространства-времени, локально лоренцева метрика искривленного пространства-времени. Вот что лежит в основе геометрии пространства-времени в реальном физическом мире. Задержимся поэтому на некоторое время, чтобы вспомнить, что представляет собой «метрика» на трех различных языках.
На языке элементарной геометрии метрика представляет собой таблицу, в которой указаны значения интервалов между каждыми двумя событиями (дополнение 13.1 и фиг. 13.1). На языке коор-
Метрика:
аппарат,
накладывающий
ограничения
Описание
метрики
на трех тыках
2
374 13. Риманова геометрия
Брюссель
"Северный полюс
Брюссель
Брюссель Рейкьявик ‘f-_ Москва
Дели
Недостающий угол
Маврикий
Окленд
Кейптаун
ФИГ. 13.1.
Расстояния определяют геометрию, а — достаточно мощные приливные силы, приложенные к Земле, соответствующим образом деформировали ее и придали ей форму капли, б — эта капля аппроксимирована полиэдром, построенным из треугольников («скелетная геометрия»). Аппроксимацию можно сделать как угодно хорошей, взяв достаточно большое число треугольников достаточно малого размера, в — в пределах каждого треугольника геометрия является эвклидовой: задание длин трех сторон треугольника определяет все характерные черты этой фигуры, в том числе и указанный угол, г — треугольники, которые сходятся к данной вершине, будучи разложены на поверхности, не стыкуются. Недостающий угол служит мерой значення кривизны в данной вершине (в Каире) на поверхности Земли, имеющей форму капли. Сумма недостающих углов для всех вершин равна 4л. Эта «теорема Гаусса — Бонне» справедлива для любой фигуры с топологией 2-сферы; в случае простейшей фигуры — тетраэдра имеется четыре вершины, недостающий угол в каждой из которых составляет 180° (3 треугольника по 60° на треугольник дают недостающий угол 180°). Короче, форма данной капли в данном приближении скелетной геометрии определяется длинами 50 ее видимых ребер и длинами, допустим, еще 32 ребер, принадлежащих задней стороне фигуры, т. е. в целом длинами 82 ребер и ничем более («расстояния определяют геометрию»). «Метрика» указывает расстояния между всевозможными парами близких точек. Если в результате вулканической деятельности Рейкьявик поднимется, то расстояния между исландской столицей н близлежащими точками соответствующим образом увеличатся; расстояния снова позволят найти форму поверхности. И наоборот, то, что в районе Исландии на поверхности Земли нет огромного вздутия, то, что Земля не имеет форму капли, можно совершенно однозначно установить, проанализировав распределение расстояний между различными точками для достаточно хорошо распределенной совокупности точек, не опираясь ни на какие иные наблюдения, кроме измерения расстояний.
