Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Аналогичным образом можно поступить и в ньютоновском пространстве-времени. Особые свойства его геометрии (изучаемые в абстрактном виде в дополнении 12.4) позволяют ввести специальные координаты (галилеевы координаты), которые особым образом связаны с событиями пространства-времени:
Z0 (З5) = ^),
(д/дх*)-(OIdxh) = Sjkt
T500 = Ф,^ для некоторого скалярного поля Ф,
а все остальные Tepv обращаются в нуль.
Чтобы глубже понять структуру ньютоновского пространства-времени, изучим соотношения между этими галилеевыми системами координат.
Принципиальный вопрос: Как можно сначала записать в галилеевых координатах законы тяготения и свойства пространства-времени (§ 12.1), а затем уж (данный параграф) прийти к пониманию природы этой системы координат и ее неединственности? Ответ (слегка видоизмененная цитата из § 3.1): «Как неоднократно подчеркивал Анри Пуанкаре, в этой и других областях науки уже устарел принцип, утверждающий: «Прежде, чем излагать, дай определение используемым понятиям». Все физические
§ J2.3. Галилеевы системы координат 359
законы и теории, в том числе и ньютоновские законы тяготения, обладают тем глубоким и трудноуловимым свойством, что в них как дается определение используемым понятиям (здесь галилеевы координаты), тан и делаются утверждения о них».
Ньютоновские законы тяготения, записанные в галилеевой системе координат
ж® = t, (д/дх?) -(д/да*) = 6ikt
делают утверждение «Г*00 = Ф,^, а все остальные Pxpv = 0» о геометрии пространства-времени. Это утверждение в свою очередь дает информацию о соотношениях между различными галилеевыми системами. Пусть дана одна галилеева система {х06 095)}; попробуем найти преобразование координат самого общего вида, приводящее к другой галилеевой системе {х®' (аР)}. Имеются следующие ограничения: I) X0' =х° = t (обе временные координаты должны представлять собой мировое время); 2) при фиксированном t {т. е. в фиксированном пространственном сечении) обе совокупности пространственных координат должны быть эвклидовыми, т. е. они должны быть связаны поворотом и трансляцией:
*>•= AykJi + а>\ 412.13а)
— [трансляция [матрица вращения, т. е. AyiAkU = byk*
Xft = AjckXi" — ah, где ah = AykO?'. (12.136)
Априори поворот и трансляция могут быть разными на разных пространственных сечениях: Ayk = Ayk (t) и с? = a? (f); но 3) на них накладывается ограничение — специальный вид коэффициентов связности. Задавшись коэффициентами связности в старой системе координат, найдем их значения в новой системе. Результат имеет вид (упражнение 12.4)
1» ’0 *
Г* о'л*= Г7 /го* = AyiAk-I (приводит к «силам Кориолиса»),
IliIo. = S- +An (AykXr—я*); (12.14)
„ -------«силы инерции»
«центробежные
силы»
все остальные Vа’р-у> равны нулю. (Везде принято «эвклидово» правило суммирования: по повторяющимся индексам производится суммирование, даже если оба они стоят внизу; точкой обозначена производная по времени.) Новые коэффициенты связности имеют
2
360 12. Теория Ньютона на языке искривленного прост р.-времени
Преобразования,
связывающие
галилеевы
системы
координат
Ньютоновский
потенциал
зависит
от выбора
галилеевой
снотемы
координат
Определение
абсолютных
галилеевых
координат
Преобразован ня9
о вязы вающие
абсолютные
галилеевы
системы
координат
стандартный галилеев вид (12.4) тогда и только тогда, когда Ayk = 0, Ф' = Ф—AsftXft+ const. (12.15)
j j _
ньютоновский потен- І і ньютоновский потенциал в новой системе —I I— циал в старой системе
координат I I координат
Эти результаты можно сформулировать словами: любые две галилеевы системы координат связаны 1) не зависящим от времени поворотом пространственной решетки (один и тот же поворот на каждом пространственном сечении) и 2) зависящей от времени трансляцией пространственной решетки (в разных пространственных сечениях трансляции могут отличаться):
Xі’ = Aj ьз?1+ aj‘ (t). (12.16)
t t
постоянны зависят от времени
Ньютоновский потенциал не есть функция, определенная в пространстве-времени и существующая там независимо от систем координат. (He существует независящего от координат метода ее измерения.) Напротив, его существование зависит от конкретного выбора галилеевых координат; если мы переходим к другим координатам с помощью соотношений (12.16), то Ф меняется:
ф' == ф _ ahxk. (12.17)
[Зато совершенно независимо от коордииат существуют мировое время t (#) и ковариантная производная V.]
Если бы все вещество во Вселенной было заключено в конечной области пространства и окружено пустотой («островная
Вселенная»), то можно было бы наложить глобальное граничное
условие
Ф О при г = (XftXft)1^2 —> оо. (12.18)
Это привело бы к выделению подкласса галилеевых координат
(абсолютных галилеевых координат) с единым общим ньютоновским потенциалом. Преобразование от одной абсолютной галилеевой системы координат к другой происходит по закону
Xі' = ^JftXft + а’" + Vt (12.19)
^ л ^
I H
