Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Г'оо = Ф.У-
8. Покажите, что геометрическое уравнение поля (аксиома 5) сводится к уравнению Пуассона V2O = 4яр.
9. Покажите, что уравнение геодезических для свободного падения (аксиома 8) сводится к ньютоновскому уравнению движения CPxiIdt* + Ф,, - 0.
УПРАЖНЕНИЯ
2
368 72. Теория Ньютона на язакг искривленного простр.-времени
упражнения 12.9. Пространственная метрика не противоречит другим аксиомам
Покажите, что геометрические аксиомы 1, 2 и 3 дополнения 12.4 позволяют ввести пространственную метрику, удовлетворяющую аксиоме 6. Указание'. Выберите в некотором событии произвольный пространственный базис {ву}. Положите по определению, что он ортонормирован, т. е. В) -Bh = 8jh. Разнесите этот базис по всему пространству-времени тем же способом, как это было сделано в пункте 1 упражнения 12.8. Положите для этого базиса по определению, что Bj-Bh = 8Jh повсюду в пространстве-времени. После этого докажите, что получившаяся в результате метрика удовлетворяет условию совместности аксиомы 6.
12.10. Метрика пространства-времени не совместима с другими аксиомами
Покажите, что в ньютоновском пространстве-времени невозможно ввести невырожденную метрику д, определенную на всех векторах и совместимую с ковариантной производной в том смысле, что
V„g (п, р) = g (VJn1 р) + g (n, VJp). (12.20)
Примечание. Чтобы доказать это, требуется знать материал гл. 8 или гл. 13; поэтому, прежде чем приступить к доказательству, изучите одну из этих глав. Указание. Предположите, что такое g существует. Воспользовавшись методами упражнения 12.8, покажите, что в галилеевой системе координат пространственные компоненты gjk не зависят от положения в пространстве-времени. Отсюда, использовав вид RotpvJB галилеевых координатах, докажите, что Rjoho и —Rofho не совпадают — результат, противоречащий симметрии тензора Римана [соотношение (8.45)] в многообразии, в котором метрика совместима с ковариантной производной.
Дополнение 12.4. ТЕОРИЯ ТЯГОТЕНИЯ НЬЮТОНА: ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА В СРАВНЕНИИ С КЛАССИЧЕСКОЙ ФОРМУЛИРОВКОЙ
Геометрическая формулировка
Теория тяготения Ньютона и свойства ньютоновского пространства-времени могут быть выведены из следующей совокупности аксиом. (Вывод см. в упражнении 12.8.)
1. Существует функция t, называемая «мировым временем», и симметричная ковариантная производная V (с вытекающими отсюда геодезическими, законом параллельного переноса, оператором кривизны и т.д.).
2. 1-форма dl ковариантно постоянна, т. е.
Vudf = O для всех и.
§ 12.4. Геометрическая формулировка теории Ньютона 369
2
[Следствие: если W—поле пространственного вектора (т. е. W повсюду лежит на поверхности постоянного значения і, т. е. повсюду (df, w> = 0), то при любом и вектор VuW тоже пространственный:
(df, VuW) = Vu(d/, w) — (Vudt, w) = 0.]
t T
О всегда]----- '------[0 всегда
3. Пространственные векторы не изменяются при параллельном переносе по бесконечно малому замкнутому контуру, т. е. Л (и, п) W = O при W пространственном для всех U и п.
4. Ни один вектор не изменяется при параллельном переносе по бесконечно малому замкнутому пространственному контуру, т. е.
^ (V1 w) = 0 для любых пространственных vhw.
5. Тензор кривизны Риччи Rafi = RliaHfi имеет вид
Re = 4лр df ® df,
где р — плотность массы
6. Существует метрика «.», определенная на одних только пространственных векторах, которая совместима с ковариантной производной в следующем смысле: для любых пространственных Whvh для любого U
Vu (w • V) = (VuW) • V + w • (VuV).
(Примечание. Аксиомы 1, 2 и 3 являются гарантией, что пространственная метрика может существовать, см. упражнение 12.9.)
7. Оператор кривизны Якоби 'jf- (и, п), определяемый для произвольных векторов U, П, р соотношением
f(u, n)p = y[3?(p, n)U + J?(p, U) п],
является самосопряженным, когда действует на пространственные векторы, т. е. ч-[У(и, п) w] = w-[j^(u, п) V] для всех пространственных v, W и произвольных и, П.
8. «Идеальные линейки» отмеряют длины, численные значения которых задаются пространственной метрикой: «идеальные часы» отмеряют мировое время t (или отличающееся от него числовым множителем); «свободно падающие частицы» движутся по геодезическим V. [Примечание. Эти утверждения можно считать определением «идеальных линеек», «идеальных часов» и «свободно падающих частиц». Более полная теория (т. е. общая теория относительности, см. § 16.4) заранее предсказывает, будут ли данные часы или линейка идеальными и является ли данная реальная частица свободно падающей.]
Примечание. Другая, эквивалентная система аксиом приведена в работе [32]. Классическая формулировка
Следующие классические аксиомы эквивалентны аксиомам, приведенным выше.
1. Существуют мировое время t, совокупность декартовых пространственных координат X1 (называемых «галилеевыми координатами») и ньютоновский гравитационный потенциал Ф.
24—01457
2
370 12' Теория Ньютона на языке искривленного простр.-времени
2. Плотность массы р создает ньютоновский потенциал согласно уравнению Пуассона
