Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
(В упражнении 9.1 дано обоснование этих формул.)
В отсутствие метрики не существует способа, с помощью которого можно было бы выбрать определенную 1-форму U в событии Si0 и сказать, что она соответствует данному касательному вектору и в Si0. Соответствие, установленное в плоском простран-
стве-времени
(Ut v)«-u«v для всех V,
пропадает вместе с исчезновением знака «•». То же утверждение можно сформулировать на языке компонент: поднять индекс иа = г|аРмр невозможно, поскольку г|аР больше не существуют; ТОЧНО так же невозможно опустить индекс M P= TlpaWa.
19-01457
Определение дуального баэнеа 1-форм
Формулы оперирования о компонентами
Исчезновение соответствия между векторами и 1 «формами
2
290 5. Дифференциальная топология
Градиент
функция
ФИГ 9.2.
Векторы базиса и 1-формы дуального базиса в касательной пространстве события &'0. Из условия ва) — 6&„ следует, что векторы е2 и ез должны лежать параллельно поверхностям ю*, а е} тяпется от одпоіі поверх-
ности «а1 до другой соседней (пересекает ровно 1,00 поверхности).
Отметим, что этот рисунок очень хорошо бы подошел к книге по рентгеновским лучам и кристаллографии. Там векторы elt е2, е3 представляли бы ребра единичной кристаллической ячейки, а поверхности «о1, со2, со3 были бы поверхностями единичных ячеек. В эксперименте по дифракции рентгеновских лучей при соответствующем подборе длины полны излучения и ориентации кристалла на последовательных поверхностях со1 происходит брэгговское отражение. При другом подборе длины волны и ориентации брэгговское отражение происходит на поверхностях со2 и со3.
1-форма градиента df была введена в § 2.(5, совершенно не опираясь на понятие метрики. Следовательно, градиент и связанный с ним математический формализм теперь, когда нет метрики, точно такие же, как и тогда, когда метрика была, за исключением лишь того факта, что как и все остальные 1-формы, d/ принадлежит теперь касательному пространству, а не самому пространству-времени. Так, например, совсем не меняется основное соотношение, связывающее проекцию градиента с производной по направлению:
(df, u> = d»/=u[/]. (9.12)
г новое обозначение;
I напомним, что и = ди
старое обозначение для -і прозводной по направлению J
Подобным же образом не меняются й соотношения в компонентах: й/ = /,аю“ (разложение d/ в произвольном базисе), (9.13а) / „ = Oaf= в« [/] (способ нахождения компонент df), (9.136) /а=д//дж®, если {ва} — координатный базис;
§ 9.5. Тенаоры 291
2
причем они выполняются в любых базисах, а не только в лоренцевых. Как в лоренцевых системах отсчета, так и в системах общего вида, базис 1-форм {йя“} и базис касательных векторов {д/дха} (определенные в касательном пространстве для одной и той же системы координат в пространстве-времени) дуальны друг другу:
(dxa, д/дх&) = 6“р. (9.14)
(Доказательство см. в упражнении 9.2.) «Внешнее исчисление» Картана (пункты А, Б, В дополнения 4.1) также в большинстве своих аспектов не меняется при удалеиии метрики.
§ 9.5. ТЕНЗОРЫ
Тензор S в отсутствие лоренцевой метрики отличается от тензоров в плоском лоренцевом пространстве-времени в двух отношениях: 1. Тензор S должен быть приписан определенному событию Si0 точно так же, как это должно иметь место для всех векторов и 1-форм. 2. Каждый входной канал тензора S является каналом определенного вида: в него можно вводить либо векторы, либо 1-формы, но никак не те и другие сразу, поскольку у него нет возможности превратить 1-форму и в «соответствующий вектор», когда эта 1-форма попадает в его линейную машину. Таким
образом, если S есть тензор ранга (*)
S(...,.........), (9.15)
сюда вводится-j t t ^ г сюда вводится 1-форма J j [_ вектор
сюда вводится вектор
то его нельзя превратить с помощью процедуры § 3.2 ни в тензор
ранга , ни в тензор , ни в тензор . На языке
компонент индексы S нельзя ни поднять, ни опустить.
За исключением этих двух ограничений (принадлежность определенному событию; специфика каналов), тензор S остается такой же линейной машиной, как н ранее. И алгебра оперирования с компонентами тоже не изменяется:
Safjv = S (to®, ер, ev) (S, а>“, ер — все должны принадлежать
одному событию), (9.16)
S = SaHyBa ® (I)P <g) ©v, (9.17)
S (о, и, V) = 5“pvoauM. (9.18)
19*
Специализация
каналов
тензора
2
292 ?• Дифференциальная топология
УПРАЖНЕНИЯ
9.1. Операции с компонентами
Выведите соотношения (9.Ив) — (9.11ж) из (9.10), (9.11а, б), (9.6), (9.7) и (9.8).
9.2. Компоненты градиента и дуальность координатных базисов
В произвольном базисе определите Д а согласно разложению (9.13а). Затем из соотношений (9.Иг) и (9.12) получите метод нахождения /,а (9.136). Наконец, из соотношения (9.12) вместе с (9.136) покажите, что базисы {ch®} и {д/дхР} дуальны друг другу.
9.3. Практика операции с касательными векторами
Пусть S50 — точка в трехмерном пространстве с координатами (х = 0, у = I, z = 0); определим три кривые, проходящие через S50, следующим образом:
