Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Дополнение 9.1. КАСАТЕЛЬНЫЕ ВЕКТОРЫ И КАСАТЕЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО
Касательный вектор dSi/dk определяется как «предел при TV-v оо, к которому стремится умноженное на N смещение, испытываемое Si при изменении X от 0 до 1/7V». Нельзя представлять себе, что получающееся в результате смещение dS^ldk лежит в пространстве-времени; там ему нельзя придать нужный смысл (отсутствует понятие прямолинейности). Вместо этого мы изображаем dS^/dk лежащим в «касательной плоскости», или в «касательном пространстве», которое касается про-странства-времени только в одном событии Sfi (0), которому принадлежит dtP/dk.
§ 9.3. BaaueHt компоненты и законы преобразования векторов 287
2
Все остальные касательные векторы в <9* (0), например doP/dp, daP/dr\, deP/dfc лежат в том же касательном пространстве.
Чтобы придать понятиям касательного вектора и касательного пространства точный смысл, можно считать, что пространство-время погружено в плоское пространство более чем четырех измерений. Тогда можно, воспользовавшись
прямыми стрелками плоского пространства вложения, осуществить предельный переход, который даст deP/dk. В результате получится картина, аналогичная изображенной выше, но с большим числом измерений.
Ho такая трактовка небезопасна. Исходя из нее можно неправильно предположить, что касательный вектор daP/dk и касательное пространство в S50 зависят от того, как осуществляется погружение, или самим своим существованием обязаны процессу погружения. Однако это не так. И стремление ясно показать, что это не так, Побуждает ввести определение касательного вектора как оператора производной по направлению d/dX, а не использовать более наглядное понятие doP/dh, введенное Картаном.
§ 9.3. БАЗИСЫ, КОМПОНЕНТЫ И ЗАКОНЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЕКТОРОВ
Особенно удобным базисом в касательном пространстве в событии аР0 является базис, определяемый какой-либо системой координат [четыре функции а-0 (ІР), X1 (3і), X2 (аР), Xa (5s)] (фиг. 9.1)
во
а / производная по направлению \
= (-а-г) =I вдоль кривой с постоянными I , (9.5)
\ /х1< х2, *з ^ ^ ^ и параметром X =
Bi =
дх1
B2 =
д
дх2
д
5x3
Базис,
определяемый
системой
коордниат
Преобразование от одного базиса к другому в касательном пространстве в вР0, подобно всякому переходу к новому базису в любом векторном пространстве, осуществляется с помощью
Переход к другому базису: определение матриц
преобразования
288 5. Дифференциальная топология
ФИГ. 9.1.
Базисные векторы, определяемые в касательном пространстве каждого события системой координат пространства-времени. Здесь изображено усеченное двумерное пространство-время (два других измерения отброшены) с координатами х (&) и ф (^) и соответствующими базисными векторами д1д% и д/дф.
несингулярной матрицы
ва*=вэ Lp*.; (9.6)
компоненты вектора, как всегда (включая лоренцевы системы плоского пространства-времени), преобразуются по обратной матрице
= LeV; (9.7)
, й f LaV-V = SaV,
IuePlI = II^VlI-1, т.е. /J V (9.8)
I L/ Ij з ** ^ 3*
Этот «обратный» закон преобразования обеспечивает согласованность разложений и = BarUa' и u=epup:
U = ва'И®' = (eTLVa-) (La’pu3) ав Bv6TpUP = BfiUfi.
В частном случае переходов между координатными базисами матрица преобразования принимает простой вид
д д дха' дха дх&
(согласно обычным правилам дифференциального исчисления), т. е.
La' (дх^/дх* )в C0Quthh где расположено* (9-9)
касательное пространство
§ 9.4. 1-Формы 289
2
(Примечание. Это выражение является обобщением закона преобразования Лоренца = Apa- Xа', который тоже может быть записан в дифференциальной форме APee* = дх&/дха'', такая запись позволяет также легко запомнить правильное написание матриц Л.)
§ 9.4. 1-ФОРМЫ
Удалив из пространства-времени лоренцеву метрику, мы должны усовершенствовать понятие 1-формы о, потребовав, чтобы она, подобно всякому касательному вектору и, была приписана определенному событию Si0 в пространстве-времени. Семейство поверхностей, представляющих о, принадлежит касательному пространству события Si0, а не самому пространству-времени. Пересечение поверхностей о стрелкой U, в результате которого получается число (о, и) («удары колокола»), происходит тоже в касательном пространстве.
Если в событии Si0 задана совокупность базисных векторов {е0, et, B2, в3}, то можно построить дуальный базис 1-форм {со0, «о1, со2, со3}, выбрав поверхности ©Р таким образом, что
(®э, е«) = 6р« (9.10)
(фиг. 9.2). Отсюда следует удивительно простой формализм нахождения компонент касательных векторов и 1-форм:
U = BaWot (определение компонент и), (9.11а)
O = Op(I)P (определение компонент о), (9.116)
иа = (<оа, и) (способ нахождения компонент и), (9.11в)
Op = (о, вр> (способ нахождения компонент о), (9.11г)
<о, u) = OaUa (способ нахождения (о, и) с помощью компонент),
(9.1ІД)
©a' = La р<ор (закон преобразования базиса 1-форм,
соответстствующий (9.6)), (9. He)
Oa^ = O^Lpa- (закон преобразования компонент 1-форм). (9.11ж)