Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
координа*
непытывают
переаоо
Ферма — Уолкера
18-01457
I
274 S. Дифференциальная геометрия: общий обаор
ФИГ. 8.4.
Семейство геодезических и). Параметр отбора п позволяет узнать,
«которая» из геодезических; аффинный параметр % позволяет угнать, «где» на данной геодезической. Острие разделяющего вектора п є дP1Idn, взятого в точке 0Р{\, 0) на опорной геодезической п = 0, лежит (приблизительно) на пробной геодезической » = 1 в точке 3° (к, 1) с тем же значением А..
Определение
тензора
кривизны
Римана
через
относительное
ускорение
геодезических
«пробной геодезической» П = 1. Количественной мерой скорости пробной частицы по отношению к такому наблюдателю служит VuH. Эта относительная скорость так же, как и разделяющий вектор п, представляет собой произвольное «начальное условие». Однако далеко не произвольно «относительное ускорение» VuVun пробной частицы по отношению к наблюдателю (см. дополнения 11.2 и 11.3). Оно равно нулю в плоском пространстве-времени. В искривленном пространстве-времени оно определяется уравнением
VuV„n + R(...,u, n, u) = 0,
или в компонентных обозначениях
(8.42)
(8.43)
§ 8.7. Отклонение геодегических и тензор Римана 275
I
Это уравнение служит определением тензора кривизны Римана, и из него можно получить следующее выражение для компонент R в координатном базисе:
Raм = <**“. IVv, Velep) =
=-?5" ” + W6 - Г‘Л (8.44)
(чтобы ознакомиться с доказательством, нужно прочесть дополнения 11.4, 11.5 и упражнение 11.3 в указанном порядке). Прочтя дополнение 8.5, можно получить некоторое представление о человеке, который первым начал изучать кривизну пространств с тремя и более измерениями.
Кривизна пространства-времени является причиной не только отклонения геодезических; вследствие наличия кривизны параллельный перенос зависит от пути (параллельный перенос по замкнутому контуру приводит к изменению вектора или тензора — дополнение 11.7); кривизна приводит к тому, что ковариант-ные производные не коммутируют между собой [соотношение (8.44)]; ее присутствие не позволяет ввести глобальную лорен-цеву систему координат (§ 11.5).
С первого взгляда может показаться, что тензор R обладает 4х4х4х4 = 256 независимыми компонентами. Ho при более тщательном рассмотрении (§ 13.5) выясняется, что он удовлетворяет целому ряду соотношений симметрии:
-RaPv6= i?[ep][ve]=i?[ve][op]» Л[аР7в] = 0> ^a[Pvfi] = 0 (8.45) (антисимметричен по первым двум индексам; антисимметричен по последним двум индексам; симметричен по отношению к перестановке первой пары индексов со второй; совершенно антисимметричные части равны нулю). Благодаря этим соотношениям тензор R (в случае четырех измерений) вместо 256 имеет лишь 20 независимых компонент.
Наряду с этими алгебраическими симметриями тензор R обладает дифференциальными симметриями, называемыми тождествами Бианки:
v] = 0, (8.46)
которые имеют глубокий геометрический смысл (гл. 15).
С помощью свертки из R можно образовать ряд других тензоров кривизны. Проще всех образуются тензор кривизны Риччи
Rtiv =s Ratiav = Taliv,. - ГV. V + Гар*ГРц.- TaPvTfVa (8-47)
T
I— I п координатном базисе
Компоненты R
Эффекты,
обусловленные
кривизной
Симметрии R
Тождества
Бианки
Тензор
кривизны
Риччи
и скалярная кривизна
Rss R%.
/Q /Q\ Скалярная кривизна
18*
I
Тензор
кривизны
Эйнштейна
Свернутые
тождества
Бианки
УПРАЖНЕНИЕ
276 8. Дифференциальная геометрия: общий обвор
Однако гораздо большее значение в геометрии имеет тензор кри* визны. Эйнштейна
G\ ai I eMVRfiS* 4 ®vapo = ^v-4 (8.49)
Из всех тензоров кривизны второго ранга, которые можно образовать сверткой R, лишь для тензора Эйнштейна G сохраняется часть тождеств Бианки (8.46): он удовлетворяет соотношениям
G“v;v = 0. (8.50)
Красивый геометрический смысл этих свернутых тождеств Бланки («граница границы равна нулю») раскрывается в гл. 15.
В дополнении 8.6 дана сводка приведенных выше уравнений, описывающих кривизну, а также основных соотношений для кова-риантиых производных.
(Упражнения 11.6, 11.9, 11.10, 13.7—13.11 и 14.3, приведенные в курсе 2, будут полезны для читателя курса 1, который хочет закрепить полученные сведения о кривизне.)
8.16. Некоторые полезные соотношения в координатных системах отсчета
В произвольной координатной системе отсчета положим по определению, что детерминант матрицы ga& равен g [выражение (8.11)]. Выведите следующие соотношения, справедливые в произвольной координатной системе отсчета.
а. Свертка коэффициентов связности:
[ (8.51а)
(Указание: Используйте результаты упражнения 5.5.)
б. Компоненты тензора Риччи:
Rafi=-тМ/=?іЛ^-ОпК^ІХаз- r^rv (8.516) У —е
в. Дивергенция вектора Aa и антисимметричного тензора Fctp:
^xe Wr____________(8.51в)
V —е
г. Интеграл от скалярного поля Y по собственному объему четырехмерной области cF:
j Yd (собственный объем)= j yVY — gdtdxdy dz. (8.51г)
С//0 <J/S
§ 8.7. Отклонение геодезических и тензор Римана 277 |
