Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Плоское пространство-время допускает несколько эквивалентных определений вектора (§ 2.3): вектор — стрелка, направленная из события в событие б0; вектор — параметризованная прямая
§ 9.2. Понятие «касательного вектора» 283
2
линия аР (X) = eF0 + X (®0 — еР0), ведущая от &0 при А, = О к S0 при X = 1; вектор — скорость изменения точки 5s (А,) с ростом X, т. е. dfPIdX.
В отсутствие лоренцевой метрики определения вектора как «стрелки» п «параметризованной прямой линии» теряют смысл. Ho какому пути следует проводить между &0 и S0 стрелку или линию? Ведь понятие прямолинейности отсутствует; все пути одинаково прямые или искривленные.
Такая неопределенность заставляет нас остановиться на определении вектора как «скорости изменения точки вдоль кривой»— dSPIdX. Это понятие вектора под новым названием «касательный вектор» кратко исследуется в дополнении 9.1 и более глубоко в следующих абзацах.
Большинство математиков отметит, однако, что и td&ldk» является довольно нечетким определением касательного вектора. Более приемлемым, по их мнению, будет следующее определение: касательный вектор и к кривой Sfi (X) есть оператор производной по направлению вдоль этой кривой:
и = da = (d/dX)Bponb кривой* (9-1)
Касательный вектор равен оператору производной по направлению? Невероятно! Вначале вектор был введен как беззаботное, лишенное всякой ответственности путешествие из ^s0 в (20. А в конце он оказался ответственным за то, как что-то другое изменяется в точке ^s0. В каком же месте на вектор взвалили эту неожиданную ответственность? И действительно ли он так сильно изменил свой облик, как это кажется? Чтобы получить ответ, вернемся немного назад и попробуем представить определение «вектора как скорости изменения точки», или d&ldX, по-новому, в виде предельного перехода:
0. Выбираем кривую 5s (А,), к которой при А, = О требуется найти касательный вектор deP/dX.
1. Находим смещение еР при изменении А, от 0 до 1; это еще не cffildX.
2. Находим удвоенное смещение 5s при изменении А, от 0 до 1I2; это еще не d&ldX.
N. Находим смещение аР при изменении А, от 0 до 1 IN, умноженное на N; это еще не d&ldX.
оо. Переходим к пределу таких смещений при N -*¦ оо; это и есть duP/dX.
Это определение обладает тем достоинством, что dZPIdX описывает свойства кривой 5s (X) не в огромном промежутке от X = 0 до А, = 1, где кривая может вести себя самым причудливым образом, а лишь в бесконечно малой окрестности точки <9*0 = <9* (0).
Недостаток этого определения заключается в том, что не объяснено, что означает каждый отдельный шаг 1,2, . . ., N, . . . и поэтому неясно, предел чего мы находим. Чтобы каждое «смещение 5і» превратить в определенный математический объект
В отсутствие
метрики
старые
определения
вектора
теряют смысл
Наилучшее ¦з новых определений: «касательный вектор совпадает о оператором производной по направлению» и = d/rfX
Другое
определение,
U =
требует погружения в плоское пространство более высокой размерности
2
284 Дифференциальная топология
Уточнение
приводящее
К d/dk
в пространстве, где имеет смысл «предел», можно представить себе, что исходное многообразие является поверхностью в некотором плоском пространстве, число измерений которого намного превосходит число измерений поверхности. Тогда 3* (l/N) — аР (0) ость всего лишь прямая стрелка, соединяющая две точки, т. е. отрезок прямой линии, который в общем случае не принадлежит самой поверхности (см. дополнение 9.1). Возникающее в результате умозрительное представление о касательном векторе очень красиво выявляет его существенные свойства, но достигается это ценою некоторых артефактов 1J. Такое представление опирается на некоторый конкретный, хотя и произвольный, способ погружения интересующего нас многообразия (пространства-времени без метрики) в другое, плоское пространство. Пользуясь этим представлением, необходимо отвлечься от всего, что зависит от особенностей погружения. Нужно уподобиться химику, который, чтобы четко представить себе основные свойства молекулы, пользуется игрушечной моделью этой молекулы, легко отвлекаясь при этом от артефактов модели (цвет отдельпых атомов, диаметр стерженьков, способность модели деформироваться), которые не отражают квантовомеханической реальности.
Картан, пользуясь своим подходом в дифференциальной геометрии, включая представление о касательном векторе как daP/dk, по-видимому, всегда представлял себе многообразия погруженными в плоские пространства и опирался на методы, которые не всегда подвергал формализации, необходимые, чтобы отделить существенные геометрические особенности такой картины от несущественных деталей, зависящих от способа погружения. Его вычислительные методы получили признание позднее. Математики, которые не доверяют своей способности отличать факты от артефактов, отказываются от преимуществ такой картины во имя строгости: не будем более говорить о движении самой точки, а обратимся к тому конкретному изменению, которое можно измерить и которое происходит в самом многообразии,— изменению, которое претерпевают при движении точки некоторые (или все сразу) скалярные функции /. Тогда предельный переход принимает вид:
