Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
Матричные элементы f^mf) сферического и параболического базисов были
подсчитаны в [96]:
/М) "8) \ = 6 (-1)<Ш+| m |)/2 Г (2/ + 1) (/ + | ОТ I )1 11/2 у
mm' ( | rn |! )2 L 4я (/ - | m \)! J
р ^ ^ I m 1 ~i~ i ^ р ^ + I m | + i ^
p 0 m I - l' I m I + 1 + (& + \m\'+ 0/21 ,\
Xs4 lml+1, |m|+l r> <M)
/71 = 0, ±1, ..., ±/.
Матричные элементы сферического базиса и базиса вытянутого сфероида имеют
вид
А ( 1 \<2"+<-">/2 Г (п - от)[ + т)\ (2П + 1) , 2 2,
°mm *' L (n+m)\(l-m)\(2l+ 1) J ап, l-nW а )'
т'> 0, (4.5)
5 , П(/ -д>/2 Г + 'I)1 +..1Л1/2 а1 т | (а2ш2\ rn' <0
<W1 ц/г - т)1 (2/ + 1) J ап,
где коэффициенты а]^ определяются по формуле (2.46).
Матричные элементы цилиндрического базиса и базиса вытянутого сфероида
имеют вид
/т т \ = Г-(" ~ Iт sjn Yl1/2 Ps I rn I (COg v aa)2\ 5
у n, m' 'm , у/ I (/i+|m|)!2 15111 YJ rl>n y> UU1 /
(4.6)
а матричные элементы базиса параболического цилиндра и базиса вытянутого
сфероида - вид
<^m- f"±. у) = [(^ + li)l(fir1~) 31П Y]I/2 PS"m ' (C°S Y' V> (fm> f%)'
(4.7)
3.4. Формулы разложения для решений уравнения Гельмгольца 241
где м. э. с. б. (/(r), определяются формулой (3.50)
разд. 1.3. Матричные элементы базиса эллиптического цилиндра и базиса
вытянутого сфероида записываются следующим образом:
sin у]'" Ps[nm 1 (cos у, a2w2) A(tm),
(4.8)
где коэффициенты Фурье An определяются через функции Матье ре"(<р, q), р
= s, с:
Ре"(ф, <?)= Z Апв1т. (4.9)
m= -°о
Соответствующие м. э. с. б. для координат сплющенного сфероида можно
получить из м.э. с. б. (4.5) - (4.8), для чего необходимо произвести
замену а2а2 - а2(c)2 в функциях сфероидальной волны.
Арскотт [7] дает способ вычисления матричных элементов смешанного базиса
соответствующего эллипсоидаль-
ным и коническим координатам, при помощи трехчленного рекуррентного
соотношения, которому удовлетворяют эти м.э. с. б.
Остальные м.э.с. б. не так просты, как перечисленные выше.
Для всех множеств базисов рассмотренных выше решений уравнения
Гельмгольца легко построить билинейную производящую функцию. Пусть
{Дц(к)}-один из одиннадцати базисов для построенного нами ранее
пространства L2(S2), и пусть (4V(x)} - соответствующий базис для
пространства решений уравнения (Аз + (r)2) Y (х) = 0. Тогда
4Vto = /(U = </^ я(х, .)>,
где Я(х, k) = ехр [-iwx-k] е L2(S2) для каждого хе/?3. Вычисление в явном
виде дает
(Я (х, •), Н (х', •)) = 4л [sin ((о/?)/(c)/?], R2 = (x - х') • (х - х').
(4.Ю)
С другой стороны,
<Я(х, О, Н(х', .)>= ? <Я(х, •). /*></*, Я(х', .)> =
X, ц
= (4.11)
х, н
и, сравнивая (4.10) и (4.11), можно показать, что 4л sin (coi?) /toi?
является билинейной производящей функцией для каждого из наших базисов.
И наконец, как показано в [37] и [96], каждый из наших одиннадцати
базисов рассматриваемый как функция от
/г(б) т) \ Г \п ~ I т I)! (2га
у it, т' I п'р, у/ L (n+|m|)l
242 Г л. 3. Уравнения Гельмгольца и Лапласа с тремя переменными
(о, 0 •< со < оо,. можно использовать с тем, чтобы разложить произвольную
функцию Дх), интегрируемую с квадратом по мере Лебега в трехмерном
пространстве Rz.
3.5. Модели негильбертовых пространств для решений уравнения Гельмгольца
Существует, очевидно, целый ряд решений уравнения Гельмгольца, которые
интересны как с физической, так и с математической точки зрения и которые
нельзя представить в виде 1(h) (см. формулу (2.1)) при /ieL2(S2). Мы
рассмотрим несколько теоретико-групповых методов получения таких решений,
позволяющих установить связь между различными типами решений с
разделяющимися переменными в негильбертовом пространстве. По сравнению с
процедурами, рассмотренными выше, эти методы менее изящны, но обладают
большей гибкостью. Ко всему прочему их можно применять для исследования
дифференциальных уравнений, рассмотренных в гл. 1 и 2.
Для начала рассмотрим преобразование 1(h) (см. (2.1)), где область
интегрирования является не вещественной сферой S2, а комплексной
двумерной римановой поверхностью. Положим, в частности,
к = (*ь къ k3) = (- (1/2) О Г1) (l + р2)1/2,
(1/2)0-Г1) (1 +Р2)'/2ДР). (5.1)
где t и р - комплекснозначные величины, и запишем
W (х) = U U сф (dt/i) h (Р, t) ехр [- (г'со/2) (1 + р2)1/2 X s
X{jc0 + r,) + ^(r*-0}-oPz] = /(A). (5.2)
Допустим, что поверхность интегрирования S и аналитическая функция к
таковы, что интеграл 1(h) абсолютно сходится и под знаком интеграла
возможно произвольное дифференцирование по х, у и z. Поскольку k\ + k\ +
k\ = 1 даже при произвольных комплекснозначных р и /, / ф 0, то ЧДх)
является решением уравнения Гельмгольца
(Д3 + (о2)ЧДх) = 0. (5.3)
Интегрируя по частям, находим, что операторы Ph J/ (см. формулы (1-2)),
действующие на пространстве решений уравнения
3.5. Модели негильбертовых пространств 243
(5.3), соответствуют операторам
/* = //*1 (Т (1 + Р2)1/2 д. -i---^-ттг дЛ, /° = tdu
^ V г м У (i + р2)1/2 V (5.4)
Р* = со(1 + р2)1/2t±l, Р° = - ш>р,
действующим на аналитические функции /г(|5,/), в предположении, что 5 и h
выбираются таким образом, что граничные члены обращаются в нуль:
