Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
странство Vi можно описать при помощи вещественной симметрической [(2/+
1)Х(2/+ 1)]-матрицы 9' в базисе {/^}. Таким образом, 2/ + 1 собственных
значений матрицы 9' являются собственными значениями оператора 5' в Vi.
Существует и иной взгляд на эту проблему. Элементы h пространства Vi
являются решениями дифференциального уравнения в частных производных S ih
= -1(1 + 1)/г (см. уравнение
(2.20)). Легко показать, что алгебра симметрии so(3) этого уравнения
трехмерна (единичная симметрия Е игнорируется) и имеет базис {/1, /2,
/3}; см. формулы (2.6). Соответствующей группой симметрии является 50(3).
Пространство 9m/q операторов симметрии второго порядка, по модулю кратных
JJ, пятимерно и имеет базис 7з, {h, h), {/1, /3}, {/2, /3}• В результате
сопряженного действия группы 50(3) это пространство разбивается на два
типа орбит: тип орбит с представителем ]\ и тип орбит с представителем J\
+ bJ\, 1 > b > 0. Кроме того, известно, что дифференциальное уравнение
(2.20) для оператора Лапласа на S2 допускает разделение переменных точно
в двух системах координат [108]. Одной из этих систем является система
сферических координат {0, ф}, в которой мы с самого начала записали
уравнение (2.20) и которая соответствует диа-гонализации оператора J\¦
Второй системой является система эллиптических координат {s,0 (см.
(2.58)), которая соответствует диагонализации оператора 7! + bl\.
Теоретико-групповой йодход к анализу системы эллиптических координат был
впервые предложен в работе [108] (см. также [57]).
С какой бы точки зрения мы ни подходили к анализу этой
3.3. Многочлены и функции Ламе на сфере 233
системы, мы должны вычислить матрицу 9" оператора
s' = A + ы\ = V4 (ь -1) ((/+)2 + Сг)2)+72 (ь +1) ((у0)2-/ (Ж))
в базисе и найти 21 + 1 собственных значений X этой мат-рицы. Как
известно [68], эта задача эквивалентна нахождению корней
характеристического уравнения
det(9' - X<S) = 0, (3.2)
где & является единичной [(2/+ 1)Х(2/ + 1)]-матрицей. Как показано в
[108], при 1^7 собственные значения X можно найти в явном виде как корни
многочленов не выше четвертого порядка. Однако при / ^ 8 порядок
многочленов выше четырех, и поэтому приближенные значения корней следует
находить численными методами.
Для классификации этих собственных значений можно воспользоваться теорией
групп. Заметим, что как уравнение Гельмгольца (1.1), так и уравнение
Лапласа на сфере (2.20) инвариантны относительно полной группы поворотов
0(3). (Эта группа порождается группой 50(3) и оператором инверсии
пространства Р: х -*-х. Матричной реализацией этой группы является группа
всех вещественных (3X3)-матриц А, таких, что АА* = Е3. Для этой группы
det4 = +l и det4 = -[-l тогда и только тогда, когда А е 50(3).) Элементы
группы 0(3), не принадлежащие группе 50(3) (поворотов и инверсий),
отграничены от единицы, и их нельзя получить вычислением экспонент
элементов алгебры Ли so(3). Существование этих симметрий инверсии
доказывается прямым вычислением.
Кроме оператора Р, нас должны интересовать следующие операторы:
Z: (х, у, z)->(x, у, -z), отражение относительно плоскости (х, у); X: (х,
у, z)->(-х, у, z), отражение относительно плоскости {у, z); Y: (х, у, z)-
>(x, -у, z), отражение относительно плоскости (х, z).
Перенося при помощи (2.1) действие этих операторов на сферу, мы получаем
Ph (k) = h(- к), Zh (к) = h {k\, k2, - k3), ^3 3)
Xh(k) = h(- kh k2, k3), Yh(k) = h(ku -k2, k3), h<=L2(S2).
Очевидно, что квадрат каждого из коммутирующих операторов Р, Z, X, Y,
является единичным оператором Е и что все эти операторы самосопряжены.
Кроме того, каждый из этих операторов коммутирует с 5' = /2 + 6/1 и 5 =
JJ. Отсюда следует, что существует о. н. базис для Vi, состоящий из общих
собственных векторов операторов Р, Z, X, Y и S'.
Возможными собственными значениями операторов Р} ..., Y
234 Г л. 3. Уравнения Гельмгольца и Лапласа с тремя переменными
являются ±1. Для определения кратности этих собственных значений на К/
применим операторы (3.3) к явному базису {fm(0> ф) = ^{п(0. ф)}; см.
(2.22). В результате получаем
xf" = №m, YfW = (-l)m fWm.
Заметим, что на Vi имеет место соотношение Р =(-1)1Е. Чтобы определить
кратности остальных собственных пространств, определим собственные
пространства
Vi4 = {hs=Vr. Xh = ph, XYh = qh}, p,q=±l, (3.5)
и положим n1q = dim'iP?'7. Поскольку Т = Л'(Л'Т) и Z = XYP, мы имеем
Ph = (-\)lh, Zh = (-l)'qh, Xh = ph, Yh = pqh (3.6)
для любого h ^ (Fpq. Кроме того,
Vi = W?+ (r) Vt~ (r) Vf+ (r) VT ~ •
Используя (3.4), можно определить размерности этих собственных
пространств. Результаты вычислений представлены в табл. 15.
Таблица 15
РАЗМЕРНОСТИ п\ч СОБСТВЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ Wf4
аТ~ п1 + п1 ~
1 четное 1 + 1/2 112 1/2 II2
1 нечетное (1 + 0/2 (1 + 0/2 (-1 + 0/2 0 + 0/2
Поскольку каждое собственное пространство инвариантно относительно S',
собственные функции оператора S' можно классифицировать по их свойствам
симметрии относительно операторов X и XY. Следовательно, о. н. базис для
