Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
где константы К?п находятся из интегрального уравнения = = /(/(л9|х). Для
данной системы
л: = 2с ch a cos (3 sh у, у = 2с sh а sin Р ch у, z = с (ch 2а + cos 20 -
ch 2у)/2.
/0. Система эллипсоидальных координат
Возьмем эллиптические координаты на единичной сфере: г (5 _ а) (/ - a)
f/2 t Г(5 - 1) (/_ 1) f/2 Г"П1/2
bi-[ а(а - \) J * k*-[----T=~a---J ^-[-J •
0 < / < 1 < s < a. (2.58)
Тогда уравнения на собственные значения
Sf = Я/, 57 = р/, S = P\ + aP\ + {a + \)P\ + i- J, (2.59)
S' = J\ + a]\ + aP\,
х{
gcn (ф; 2ссо, Я,) (ф; 2ссо, Я,)
t = C,S, П = 0, 1, 2, .,
оо < Я <
230 Гл. 3. Уравнения Гельмгольца и Лапласа с тремя переменными
принимают вид
Г-г17 + " J - (J + о - (1 + <1)1 /=У,
1 г 4 , (2.60)
[-7^7 (tdaa + 5<3рр) - (02S/J / == р/,
где
"За = [(a -s)(s- 1)s)ll2ds, <3р = [(/ -а)(/ - 1)t]mdt.
Можно найти решения этих уравнений вида f(s,t) = Ei(s)E2(t}, где
(4<Эаа (o2s2 + X's + р) (s) = О,
(4<Зрр + со2/2-Я'/-р)?2(/) = 0, Я' = - to2(1 + а)-Я. К '
Эти выражения являются алгебраическими формами уравнения эллипсоидальной
волны (см. (1.29)); следовательно, Ej - эллипсоидальные функции. Кроме
того, если положить s = sn2(ri, &), / = бп2(Ф,&), где k = а~1/2, то
уравнения с разделенными переменными будут иметь форму Якоби
(<3" - &2р - &2Я'sn2 ? + &V sn4 ?) Ej(l) = 0, ? = т), Ф, /=1.2,
(2.62)
уравнения эллипсоидальной волны (1.33). Новые координаты т], ф обладают
также тем свойством, что они допускают параметризацию не только первого
октанта сферы S2, но и всей этой сферы. В самом деле,
*i = (*')_1"ln(Ti, &)<1п(ф, k), k2 = ik(k')~l сп(ц, &)сп(ф, k),
wo ' (2.00)
k3 - k sn(ri, fe)sn(ll), k), k' = (\- k2) ,
и эти координаты покрывают S2 в точности один раз, если т} меняется в
пределах -2К < Л < 2К, а ф е [/С, К + 2iK ), где К -К (к) дается
соотношением (В.З) и К'- К(к').
Поскольку k\, к2 и k3 не меняются при прибавлении к т] или к ф целых
кратных 4К и 4iK', нас интересуют только те однозначные решения Е/
уравнения (2.62), которые остаются фиксированными при этих
преобразованиях, т. е. решения
?/(? + 4/(л+ AiK'n) = Ej(l), п, гп - целые числа.
Как уже было указано в предыдущем разделе, эти двоякопериодические
функции называются функциями эллипсоидальной волны. Подробный анализ этих
функций был проведен Арскот-том [7]. Спектр операторов S и S' дискретный,
каждая пара собственных значений обозначается через %пт, ц"т.
Соответствующие функции эллипсоидальной волны обозначаются через а
собственные функции операторов S и S' -
3.3. Многочлены и функции Ламе на сфере 231
через
fSS (Л, Ф) = el Рп (Л. Ф) = < (Л) eln (Ф), (2.64)
где л = 0,1, а целое т принимает 2л+ 1 значений. Предположим, что {elрп)
- о. н. базис:
<elp?, elp^} = 6nn,6mm,.
(Такой выбор базиса определяет решения (2.64) лишь с точностью до
некоторого множителя, по абсолютной величине равного единице. По
существу, единственная нормировка дана в [7]. Заметим также, что dQ(k) =
ik2(sn2 ц- sn2 ф) di\dty.) В общем случае эти функции довольно трудно
поддаются изучению, и относительно их структуры известно очень мало.
Соответствующие решения уравнения Гельмгольца (х) =
¦"/(Zпт) имеют ВИД
чС (х) = ЕС (а, (5, Y) - Кп (со, k) еС (а) etf (Р) еС (у), (2.65)
где константа Кп находится из нетривиального соотношения Eln (а, р, у)~
ехр[а; (-FfFp" dn a dnр dn у dn л dn ф +
s,
k3
4- jpji-cn а cn p cn у cn л cn ф +
4- г/г2зпазпР5пу5пт15пф^е1р(т1, ip)dQ(k), (2.66)
в котором произведение трех функций эллипсоидальной волны представлено в
виде интеграла от произведения двух таких функций. Координаты а, р, у
связаны с х, у, г соотношениями
(1.32). Интеграл (2.66) мы могли вычислить с точностью до некоторого
постоянного множителя, так как заранее известно, что он разделяется в
переменных а, р, у.
3.3. Многочлены и функции Ламе на сфере
Несмотря на свою сложность, задача на собственные значения,
соответствующая системе конических координат 11 (см. табл. 14),
представляет особый интерес. Только для конических и сферических
координат задача на собственные значения становится конечномерной, т. е.
только в этих двух случаях, эта задача сводится к нахождению собственных
значений (лХл)-матрицы.
Для функций / на сфере Sг уравнения на собственные зна-
532 Гл. 3. Уравнения Гельмгольца и Лапласа с тремя переменными
чения, соответствующие системе 11 в табл. 14, имеют вид
J • J/= - /(/+ 1)/, (Л + bjf)f = lf, 1 > 6 > 0. (3.1)
Из (2.19) следует, что
MS2)=I(r)F"
1=0
где dim Vi = 21 -f- 1 и Vi - пространство неприводимого представления D
группы 50з. Таким образом, J-J имеет спектр -/(/+1), 1 = 0, 1, 2 причем
кратность каждого собственного значения равна 2/+ 1. Поскольку 5 = J J и
5' = /1 + 6/2 коммутируют, отсюда следует, что относительно второго
оператора подпространства Vi инвариантны. Следовательно, наши поиски
собственных значений оператора 5' можно ограничить (2/ + 1)-мерным
пространством Vi. Это пространство имеет о.н. базис (см. (2.12)), и
ограничение оператора 5' на про-
