Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
U (и, v, p)/z {х) = ехр [г (р -f uv/4 -f их/2)] h{x -f- v), (1.41)
/ze=L2(tf).
2.1. Уравнение Шредингера (idt + д XX )'?(t,x)=0 12?
Операторы 11{ц,(о}, (ц, со} е SL(2, R), более сложны. Здесь ехр(аХ_2)
дается формулой (1.25), и можно элементарно показать, что
ехр (ЬЖ°) h (х) -- ехр (b/2) h (еъх), ехр (сЖ2) h (х)
- - ехр (icx2/4) h (х). (1.42)
Из соотношений (1.17), (1.39) следует, что
ехр (<pi?2) = ехр (th ч>Ж2) ехр (sh ф ch фЖ_2) ехр [- In ch фЖ°],
и поэтому (1.25) и (1.42) дают ехр (ф^2) h(x) =
оо
= \ "рГ (1.43)
(4я" sh ф)1г _J L ^вЬфсЬф J
Ф ф 0.
Аналогичные вычисления для ехр(02'3) дают ехр (б^з) h (х) =
оо
= e,P,!("'/4)'If ¦ 1.1- m. ( ехрГ-("'с05.е^")1 hWy. (1.44а)
(4nt sin 0) ' J L 4t sin 0 J
' - oo
0 < | 0 | < jt,
exp (2n2?3) h (x) - - h(x). (1.446)
Из этих формул можно получить общий групповой оператор
UM.
Из (1.25) следует, что о. и. базис {/"4)(х)} отображается в о. и. базис
функций F^(t, х) = ехр (7Х_2)(х),
rf"", к)=[п\ 2'[2я(1 + /ОТТ'^Р -
- i(n Н- 1/2) arctg Нп {х/[2 (1 + t2)]112}, п = 0, 1, 2, ..., (1.45)
которые являются решениями уравнения (1.28). Этот результат можно вывести
из формулы (1.30) или получить на основании строки 4 табл. 6. В самом
деле, мы знаем, что в выражении (1.45) переменные {и, v} ^-разделяются,
если принять и = х/(1 + t2)x>2, v = t, 9L = iu2v/4:. Применяя стандартные
методы, изложенные в гл. 1, мы получим выражение (1.45).
Теперь исследуем спектральную теорию для орбит, содержащих операторы Ж-2-
\-Ж2 (репульсивный осциллятор) и Ж°.
Спектральный анализ оператора Ж0 более элементарен, и сначала мы
рассмотрим его. (Соответствующие результаты для оператора Ж-г + Ж% будут
следовать из полученных, если при-
128 Гл. 2. Уравнение Шредингера и уравнение теплопроводности
менить унитарный оператор f - ехр(-(л/4)2'з) и соотношения (1.21),
(1.23).) Уравнение на собственные значения имеет вид
iX°f = If, Х° = хдх + Ч2.
Спектральное разложение этого оператора известно [37]. Чтобы получить
его, разложим L2(R) в прямую сумму пространств L2(R-) ф L2(R+) функций,
интегрируемых с квадратом соответственно на отрицательной полуоси и
положительной полуоси, а затем сделаем преобразование Меллина каждой
компоненты. В результате оператор iX° преобразуется в оператор умножения
на независимую переменную трансформанты Меллина. Таким образом получаем,
что спектр оператора непрерывен и двукратно покрывает всю вещественную
ось. Обобщенные собственные функции имеют вид
- оо < а, < оо,
где
Y" Я
х+
</13)±, /<3)±> = 6(^-Ц), /<3>*> = 0.
{
ха, если х > 0, п ( 0, если х > 0,
О, если х < 0; " I (- х)а, если х < 0.
При помощи соотношения (1.25) находим Ff)±(t,x) = = exp(/J*r_2)fj3>±(*):
F% 8it+ 4 + 8 ) (8"*//)>/* X
xr(i-a)D^,0(-^). ot (1.47)
здесь Г (г) -гамма-функция (приложение Б, разд. 1), a Dv(zУ- функция
параболического цилиндра (приложение Б, разд. 4). (Это соотношение
получается из формулы (1.25) изменением пути интегрирования: мы заменяем
положительную вещественную полуось на луч, образующий с вещественной осью
угол л/4, а также используем тот факт, что, согласно строке За табл. 6, в
координатах u = x/'\/T,v = t имеет место чистое разделение переменных.)
Имеем также
F? + (t, x) = F(iP(-t,x), x) = Ff+(t, -х). (1.48)
Из формул (1.46) непосредственно следует, что {fi3)±} образуют базис в
L2(R), а соотношения ортогональности имеют вид
(f%] ±, F(r)*) = б (к - |Х), (F(?y±, F^т) = 0 (1.49)
2.1. Уравнение Шредингера (idt + дхх) Ч' (/, х) -0 129
для любого фиксированного t. Используя эти соотношения ортогональности и
полноты для разложения произвольной функции h^Li(R), получим вариант
теоремы Черри для гильбертова пространства [17, 137], дающей разложение
по функциям параболического цилиндра. Заметим, что наше разложение имеет
простую связь со спектральным разложением оператора
К0 = 2 tdt + хдх + Va = 2Идхх + хдх + '/г-
Следующая орбита, которую мы рассмотрим, содержит операторы Ж-2 - Wi
(линейный потенциал) и Жг-У Ж-i. Мы изучим второй оператор, поскольку
спектральный анализ для него проще. (Соответствующие результаты для
оператора Ж-2 - Ж\ будут следовать из полученных, если применить
унитарный оператор /2 = ехр [- (п/2)9?ъ\ и соотношения (1.21) - (1.23).)
Уравнение на собственные значения имеет вид
/ (Ж2 + X_i)f = Xf, Ж2+Ж_х = ix 2/4 + дх.
Спектральное разложение легко получить на основании теоремы об интегралах
Фурье. Спектр оказывается непрерывным и заполняет всю вещественную ось.
Обобщенные собственные функции образуют базис и имеют вид
f\ (х) = (2л)_1/2ехр[- i(Xx + x3/l2)], - оо < X < оо,
= "№-(•). 0'50)
Мы находим, что FP(t, х) =
= exp[-^(rt + -^-"2u + ! + i^)]2>/6Ai [22/3 (-?-+*,)],
x - uv + (2и)~', / = и, (1.51)
где Ai(z)- функция Эйри
Ai(z) = n~l(z/3yi2K\/3(2z3!2/3), | arg г | < 2зг/3. (1.52)
Как обычно, мы выводим формулу (1.51), применяя ^-разделение переменных к
соотношению (1.25). Функции {F(r)} суть базисные функции оператора
К2 + К_1 = - И2дхх + (1 - (х) дх - Ц2 + г*2/4.
