Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
для которых потенциал имеет вид (1) - (7). Эти потенциалы можно
охарактеризовать в терминах групп симметрии.
112 Гл. 2. Уравнение Шредингера и уравнение теплопроводности
Таблица 5
ПОТЕНЦИАЛЫ V (х),
ДОПУСКАЮЩИЕ НЕТРИВИАЛЬНУЮ АЛГЕБРУ СИММЕТРИИ
V{x) Название системы
(1) 0 Свободная частица
(2) kx2, k > 0 Линейный гармонический осциллятор
(3) - kx2, k > 0 Линейный репульсивный осциллятор
(4) ax, а Ф 0 Движение в однородном внешнем поле (линейный потенциал)
(5) а/х2, а ф 0 Изотропная свободная частица Изотропный гармониче-
(6) aht2 + kx2, а Ф 0, k > 0 ский осциллятор
(7) ajx2 - kx2, а Ф 0, k > 0 Изотропный репульсивный осциллятор
В следующих трех разделах мы изучим эти семь уравнений и обнаружим
удивительные зависимости между ними и их связь с разделением переменных.
Запишем уравнение Шредингера для свободной частицы в виде
QY = 0) Q = tdt + dxx. (1.2)
Чтобы найти алгебру симметрии этого уравнения, будем следовать методу,
описанному в разд. 1.1, т. е. найдем все линейные дифференциальные
операторы
L = a(t, х) дх + b (t, x)dt-\-c (t, х)
(где а, Ь, с аналитичны в некоторой области 2) плоскости (х, /)), такие,
что LW удовлетворяют уравнению (1.2), если Y
аналитична в 2) и является решением уравнения (1.2). Чтобы L
принадлежал алгебре симметрии, необходимо и достаточно выполнения
соотношения
[L, Q] = Rl (t, х) Q, (1.3)
где Rl - некоторая функция, аналитичная в 2). Приравнивая в обеих частях
(1.3) коэффициенты при дхх, dt, дх и 1, получим
2.1. Уравнение Шредингера (id, + дхх)Чг (/, х) =0 113
систему дифференциальных уравнений для функций а, Ь, с и R. Детали этих
простых выкладок можно найти в работах [3, 18, 20]. Окончательный
результат состоит в том, что операторы симметрии L образуют шестимерную
комплексную алгебру Лн $2 с базисом
К2 = - t2dt - (хдх - tj 2 + ix2l 4, К\ = - tdx + /х/2,
Ko = i, К-х = дх, K-2 = dt, K° = xdx + 2tdt + 'l2, (1,4)
а соотношения коммутирования имеют вид
[K°,Kj] = iK, (/=±2, ±1,0), [*_"*,] = Va*0,
[/С_1, /C2] = /Ci, [/С_2. /Cl] /с_" [/С-2, К2] = - к0. (}
Читатель должен по достоинству оценить выражение (1.3), поскольку оно
дает возможность вычислить операторы симметрии для уравнения (1.2), не
являющиеся очевидными. Более того, некоторые из этих операторов не
являются чисто дифференциальными, но содержат и операторы умножения.
Геометрический смысл операторов Ко, К-\, К-2 очевиден, а оператор К0
является производящим оператором преобразования растяжения Ч;(^, x)->
V(а2/, ах). Однако К\ является производящим оператором преобразования
Галилея (не очевидным оператором симметрии), геометрический же смысл К2
автору неизвестен. Далее, К° и Ki не коммутируют с Q, хотя они переводят
решение в решение; таким образом, они отвечают тем операторам L в (1.3),
для которых Rl Ф 0.
Так как х и t вещественны и так как мы хотим изучать экспоненты
операторов симметрии (1.4), чтобы получить группу симметрии, мы
ограничимся рассмотрением вещественной шестимерной алгебры Ли !?2 с
базисом (1.4). (Заметим, что мы не можем отбросить единичный оператор
/Со, так как он появляется как коммутатор 2 [/С_i, /Сi] -) Другим
полезным базисом в <S2 является базис {С/, Lk, ?}, где
с, = /с_ " С2 = Ки Ц = К-2-К2,
L\ = К0, L2 = K-2 + K2, Е = Ко. ( 6)
Соотношения коммутирования принимают вид [Е\, L2\ = - 2L3, [/-з, Z-i] =
2Z.2, [L2i L3] = 2L\,
[Cj, С21 = 72Д [L3, Cj] = C2, \L3, C2] = - Cj, (1.7)
[L2, Ci] = [C2, Z-i] = - С,, [L\, Cj] = [L2, C2] = - C],
где E - производящий оператор центра f?2.
Чтобы разъяснить структуру !?2, напомним некоторые факты о группе SL(2,R)
всех вещественных (2X2)-матриц Л
114 Гл. 2. Уравнение Шредингера и уравнение теплопроводности
с детерминантом, равным +1:
Л = ( аб -yP==1, а, р, у, 6 е= Я. (1.8)
Как известно [83, 134], алгебра Ли sl(2,R) группы SL(2,R) состоит из всех
вещественных (2 X 2)-матриц А с нулевым следом
(а Ь \
Л = (^с _аJ, a, Ь, c<=R. (1.9)
Эта алгебра Ли трехмерна, и матрицы
*.-(J *.-(? о} *"-(? ~о') <110)
образуют ее базис, а соотношения коммутирования имеют вид [2и23] = -223,
\2г,2,\ = 22г. [2Я, 23] = 22t. (1.11)
Отсюда непосредственно следует, что операторы симметрии Lk образуют базис
подалгебры алгебры $2, изоморфной алгебре sl(2,R).
Кроме того, операторы С\, С2, Е образуют базис подалгебры алгебры ^2,
изоморфной алгебре Вейля W\. Группа Вейля W\ состоит из вещественных
(3X3)-матриц вида
/1 v 2р + ыи/2\
В(и, v, р) = 1 0 1 и I, и, v, р el?, (1.12)
\0 0 1 /
с групповым умножением матриц В (и, v, р)В(и', v', р') =
= В (u + u', v-\-v', р + р' + (vu' -• uv')/4). (1.13)
Алгебра Ли УР\ имеет базис
/0 1 0\ /0 0 0\ /0 0 2\
с€х = \ ООО, ^2 = 1 001, ? = \ 0 0 0,
\0 0 0/ Vo о о) 40 0 0/
а соотношения коммутирования имеют вид
["'ь Щ = Ч2&, №*,?1 = 0. (1.14)
Используя известные результаты теории Ли (теорема А.З), мы можем по
дифференциальным операторам из 3?2 построить экспоненциальные
отображения, чтобы получить локальную группу Ли G2 операторов симметрии.
Действие группы Вейля
