Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
2.1. Уравнение Шредингера (idt + 3i^)vF(/1 х) =0 115
задается операторами
Т (и, v, р) = ехр ([р + uv/4] Е) ехр (иС2) ехр (vCi),
причем
Т (и, v, р)Ф (/, х) =
= ехр [/р + i (uv + 2их - ы2/)/4] Ф(/, х + v - ut), (1.15)
где Ф принадлежит пространству $F функций, аналитических в области ?).
Свойство группового умножения описывается со* отношением (1.13). Действие
SL(2,R) дается соотношением
Т (Л)Ф (t, х) = ехр [г 4 ^ ^ ] (б ф) Ф ( 6 +
^ s + ^ ).
(1.16)
где A&SL(2, R) представлена в виде (1.8). Отметим, что
т(о i) = exp(p/C2)' t(y i) = exp(Y*-2)'
/е° 0 \ /cos0 -sin0\
Чо e-.)="P("m 4si"e cose)=""">"' <М7> / ch ф sh ф \ 4sh<p ch ср) = ехР
Группа SL(2,R)' действует на W\ посредством присоединен, ного
представления
Т (Л-1) Т (и, v, р)Т(Л) = Т(ыб + цр, uy + va, р), (1.18)
откуда полная группа симметрии G2- группа Шредингера в двумерном
пространстве-времени - получается как полупрямое произведение группы
SL(2,R) и W\ [20, 58]:
g = (A, w) eG2, А е SL (2, R),
w = (", о, р)еГ" T(g) = T^)T(w), (1.19)
Т (g) Tig') - Т(АА') {Т (Л,_1)Т (w) Т (А')) Т (w') = Т (gg').
Из нашей общей теории следует, что T(g) отображает решение Ч*1 уравнения
(1.2) в решение T(g)4f. Однако G2 является лишь локальной группой
симметрии, ибо мы сталкиваемся не только с проблемой области определения
функции Т(^)Ф, которая обсуждалась в разд. 1.1, но также и с тем фактом,
что выражение (1.16) теряет смысл при б-)-ф=0. Соотношение
(1.16) получается вычислением экспоненты производной Ли только при
|ф/б|< 1. При |ф/б|> 1 это соотношение все еще определяет некоторую
симметрию, но не может быть непосредственно получено при помощи алгебры
симметрии.
116 Гл. 2. Уравнение Шредингера и уравнение теплопроводности
Группа Шредингера С2 действует на алгебре Ли (?2 симметрии операторов К
посредством сопряженного представления
K->Ka = T(g)KT(g~l),
и это действие разбивает (?2 на С2-орбиты. Оператор Ко - /, производящий
оператор центра {/Со} алгебры (?2, с нашей точки зрения является
тривиальным, поэтому мы просто определим структуру орбит
факторпространства ^2 = ^2/{/С0}. Получаются следующие результаты. Пусть
ненулевой элемент 2^ имеет вид
К - ct2K2 4" ctiKi + а0К° 4~ a_i/C_i 4* й_2/С_2>
и пусть а = а2а_2 4~ ^о- Прямые вычисления показывают, что а - инвариант
сопряженного представления. В табл. 6 дано полное множество
представителей орбит. Это значит, что К лежит на некоторой С2-орбите,
если оператор К вещественно кратен одному из пяти операторов, входящих в
следующий список:
Случай 1 (а < 0) К-2 - К2 = Г3;
Случай 2 (а > 0) К0', (1.20)
Случай 3 (а = 0) /С2 4~ /C_i, /С_2,
Отметим, что существует пять орбит.
Так как К-2 и К-1 коммутируют, их можно одновременно привести к
диагональному виду. Более того, К-№ = г'/С-ГГ для произвольного решения Y
уравнения (ДТ = 0. Поэтому мы ассоциируем с обеими этими орбитами одну и
ту же систему координат {/, х} и окончательно имеем четыре системы
координат, в которых переменные разделяются.
Можно также определить операторы симметрии второго порядка для уравнения
= 0 и показать, что уравнение Шредингера для свободной частицы является
уравнением класса 1. Однако все системы координат, допускающие разделение
переменных в этом уравнении, оказываются ассоциированными с орбитами
операторов симметрии первого порядка. Это связано с тем фактом, что
уравнение Шредингера - уравнение первого порядка по t.
Для этого уравнения целесообразно (и необходимо) рассматривать решения с
/^-разделенными переменными. Чтобы разъяснить понятие /?-разделимости,
возьмем не обращающуюся в нуль аналитическую функцию /?(/, х)= ехр(/$!(?,
х)) и запишем решение V уравнения Шредингера СДГ = 0 в виде V = = /?Ф.
Составив дифференциальное уравнение для функции Ф, получим Q^ = 0, где Q'
= R~lQR- преобразованный диффе-
2.1. Уравнение Шредингера (id, + дхх)^(t, х) =0 117
ренциальный оператор. Предположим, что новое уравнение ф'ф = 0 в системе
координат {и, v} имеет решение с разделенными переменными Фх -
U\(u)V^(v). Если R = a(u)b(v), т. е. если в координатах {и, v} функция R
факторизуется, то ЧД - = а (и) Uк(и) b (v) Vx(v)-решение уравнения СЯК*.
= 0 с разделенными переменными, и мы не получаем ничего нового. Однако
если R(u, v) не факторизуется, то мы получаем новое семейство решений Ч'х
= ехр(Ш(и, v))Ub(u)Vb(v) с /^-разделенными переменными. Таким образом,
/^-разделимость является обобщением обычной разделимости. Решения
уравнения Q'P = 0 с /^-разделенными переменными соответствуют обычным
решениям с разделенными переменными эквивалентного уравнения Q'<D = 0, Q'
= R-'QR.
Мы не вводили понятие /^-разделимости раньше потому, что уравнения,
исследованные в гл. 1, не допускали /^-разделенных переменных без того,
чтобы переменные уже не были разделены в обычном смысле. Однако для
операторов Шредингера ситуация меняется. Ясно, что в этом случае
существование решений с /^-разделенными переменными связано с
существованием оператора симметрии К, который не коммутирует с Q, хотя и
