Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
ж“
пВзА
в
(6.32)
Заметим, что гамильтониан определен с точностью до полной производной по времени (производной Ли) от скалярной плотности и дивергенции от 3-мерной плотности. Это соответствует неоднозначности лагранжиана, допускающего добавление слагаемых вида
а*а = +«йа; Oit = а\.
тогда выражение для плотности вектора Пойн-
Пусть = Чуо + ULaa тинга принимает вид'
?Я“.
(6.33)
6.3. АНАЛИЗ КОНКРЕТНЫХ ПОЛЕЙ
Рассмотрим здесь приложение теоремы Нётер к электромагнитному и гравитационному полям.
Гамильтониан свободного электромагнитного поля равен
- (/V/2ч/Гням# + JS^).
Из (6.32) для плотностей вектора Пойнтинга и импульса поля находим
=-W2л/ь)еаРуHtfSy ; (6.34)
V (Tj) = (1/Л/2) * aVa . (6.35)
Пусть плоская электромагнитная волна распространяется в направлении векторного поля 6 = д/Ъи. Тогда
137
Отсюда с учетом связи между электрическим и магнитным полями в плоской электромагнитной волне
Sa =^0“ Vw = (MN2)^OaVa.
Законы сохранения энергии и импульса имеют вид [ср. с (6.19), (6.26)]:
Cfyxa) а = 0; (6.36)
()Р(т?> Аа> а =0, (6.37)
где X = % + в — изотропный вектор.
Перейдем к гравитационному полю. Так же, как и в электродинамике, можно попытаться выделить среди переменных, описывающих гравитационное поле, динамические переменные, отвечающие за гравитационное излучение (числом 2), и переменные, аналогичные продольным составляющим вектор-потенциала электрического поля и определяющие "кулоновскую часть" гравитационного поля. Наш анализ динамических характеристик гравитационного поля основан на 2 + 1 + 1-расщеп-лении пространства-времени (см.*§ 1.6).
Используя 2 + 1 + 1-расщепление, запишем лагранжиан гравитационного поля
Zg = INZyZbnSlJfaf - BlxJfiu) + + V2> + 2р°ра +
+ 2df -2R- 2аНц + (2 1у/ь) ? (>/7®)] .
W
Независимые степени свободы будем отождествлять с конформно-инвариантной
2-мерной метрикой Iav = J-1I2J1.., И канонически сопряженными импульса-1П> ^ М*'
ми 1Vj:
J1P Mg *цр yZb фрмй *
* Uyiiv ^ 2» ^ У*'
С учетом этих определений и основных формул 2 + 1 + 1-расщепления легко увидеть, что гамильтонова и импульсные связи имеют структуру:
%уп + Y0 U) = 0; (6.38)
Уд<7, JT7-) + Yg(x) = O5 (6.39)
где
tBfdyn = (N/yJb)(*fjivirTfiV + OtxvQliv) +
+ 2yf=g[papa- (М2)2 R - А^ц].
Отметим, что Vfdyn Дает верные уравнения "движения" только для независимых переменных 7 и Hf. Из (6.39) следует, что V (7, яу) описывает плотность импульса гравитационного поля. Действительно, если вычислить плотность импульса гравитационного поля, используя (6.25), для лагранжиана, равного
^dyn ” nJ? ^llV “ tydyn •
то полученное выражение совпадает с из (6.39).
138
Для того чтобы связать fydyn с энергией, необходимо применить принцип соответствия с теорией Ньютона. Так, для островных систем из гамильтониана должна получаться полная масса системы. Однако 2-мерная кривизна для таких систем ведет себя вдали от источника как R =sO (1/г ), и, следовательно, интеграл, определяющий массу, расходится. От расходимости можно избавиться с помощью
2 0°
конформного преобразования 2-мерной метрики = е Тогда для 2-мер-
ной кривизны [164]
VT2 Я я VT"I2r + 2Аа).
Выделяя трехмерную дивергенцию, перепишем это выражение как
2R - е~гаій + -2= а- 4e-2a[,n(/V*)]
Отбросив дивергенциальное слагаемое, перейдем к новому гамильтониану:
V (*¦V- 'W)'
+ 2yfl(pap^ - -ь) + V^I"[4[ln(M:)] дО^-Я]. (6.40)
Поскольку в выборе конформного преобразования 2-мерной метрики имеется произвол (независимые степени свободы описываются конформно инвариантными величинами), можно остановиться на одной из калибровок, а именно, будем предполагать, что фоновая 2-мерная гебметрия плоская. Этот выбор калибровки всегда возможен, так как все 2-мерные пространства находятся в конформном соответствии [164]. Заметим, что выбор фоновой геометрии аналогичен калибровке вектор-потенциала в электродинамике. Перепишем (6.40) с учетом выбранной фоновой геометрии:
>("Г 1tTfiV + 0HVettv) + 2 ^-^{[РарР +
+ 2ехр(—2a)(ln(/V*)) аар]7а0 - A^fl}. (6.41)
Найденный гамильтониан свободен от расходимостей для островной системы, но интегральная энергия равна нулю. В этой ситуации необходимо прибегнуть к принципу соответствия. Вспомним, что даже в классической механике функция Гамильтона совпадает с энергией только после соответствующей перенормировки. (Эта проблема уже обсуждалась в § 6.1.) Чтобы получить гамильтониан, приводящий к правильной интегральной массе для изолированных систем, добавим в (6.41) дивергенцию из (6.18). Тогда гамильтониан примет вид «
Ъд ш\ + 4\/7ДФ. (6.42)
Перейдем к конкретным примерам. Для начала рассмотрим поле Шварцшильда в координатах кривизн
2 2 dr2 2 2 CtS2 * (1 - r0/r)dt2 ---------------г2do2.
(1 - r0/r)
Выберем естественное 3 + 1-расщепление пространства-времени с помощью коор-
139
динатных сечении
t e const; N - (1 - г0/г)1/2.
Выбрав вектор - dlf и, соответственно, А: = (1 — г0/г)”1/2# найдем, что ^ = 4\/ьАФ.
