Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Для пространства Минковского многообразие 7ІІ изображается в виде диаграммы Пенроуза _?рис. 7.1). Каждая точка представляет собой
2-сферу, кроме точек Г, /° и точек г = 0 (пунктирная линия); особенность г = 0 — координатная. Граница состоит из пяти кусков
X =/“ U7'U/° U7 + U Ґ .
Различные куски границы имеют следующий смысл:
1) / — временная бесконечность будущего (прошлого). Образ временноподобной кривой начинается в Г и заканчивается в /*.
2) 7 ± (читается "скрай") — изотропная бесконечность будущего (прошлого). Образы изотропных кривых начинаются в 7” и заканчиваются B^+.
3) I0 — пространственная бесконечность. Образы пространственноподобных кривых начинаются в /° и заканчиваются в /°.
В некоторых случаях части границ 7“ и J+ могут быть неизотропными поверхностями. Так, для космологических моделей, описываемых решениями уравнений Эйнштейна с Х-членом, если X > 0, то V — пространственноподобная, а зсли X < 0, то J — временноподобная поверхность [101]. Одно из таких решений с X < 0 — это решение де Ситтера второго рода. Пространственноподобный характер 0 тесно связан с наличием горизонта частиц и горизонта событий, к обсуждению которых мы сейчас перейдем (в случае геодезического наблюдателя).
Горизонт частиц [101, 115, 148] возникает, когда д~ является про-странственноподобной поверхностью (рис. 7.2). Рассмотрим семейство наблюдателей, мировые линии которых пересекают 3~, и выберем од¦ ного из них. Пусть его мировая линия задается как у (г). Как видно из рисунка, для части наблюдателей существует возможность передачи информации в точку Pt но для некоторых этой возможности нет. Наблюдатель в точке P их еще не видит. По мере продвижения в будущее горизонт частиц расширяется, т.е. все большее число частиц (наблюдателей) можно увидеть.
Если поверхность J изотропна, как, например, в пространстве Минковского (см. рис. 7.1), горизонт частиц отсутствует. Действительно, мировые линии частиц начинаются в точке /“ и заканчиваются в точке /+, но тогда все они попадают внутрь конуса прошлого с вершиной на у (г).
145
Рис. 7.1. Диаграмма Пенроуза для пространства-времени Минковского
Рис. 7.2. Возникновение горизонта частиц в случае, когда поверхность 7 пространственноподобна:
1 — световой конус прошлого; 2 — мировая линия частицы, невидимой в точке р; 3 — мировая линия частицы, видимой в точке р; 4 — горизонт частиц в точке р
Горизонт событий [101, 115, 148] появляется, когда 7 + — пространственноподобная поверхность (рис. 7.3). Ясно, что изотропный конус прошлого, изображенный на рисунке, разделяет пространство-время на две части, причем события, находящиеся вне этого конуса, недоступны для наблюдения. Таким образом, горизонт событий определяет границу между событиями, которые наблюдатель может когда-либо увидеть, и событиями, которые он никогда не увидит.
Может показаться, что возникновение этих горизонтов происходит в экзотических случаях, но на самом деле уже в пространстве Минковского, в системе отсчета ускоренного наблюдателя появляется горизонт событий. На пространственно-временной диаграмме мировые линии наблюдателей, движущихся с постоянным ускорением в пространстве Минковского, изображаются в виде гипербол (рис. 7.4). По этой причине равноускоренное движение иногда называют гиперболическим. В правой полуплоскости (область /) Х-линии изображают мировые линии наблюдателей, движущихся в положительном направлении оси х,ив левой полуплоскости (область ///) — в отрицательном направлении оси х. Линии постоянного параметра Г определяют события, одновременные в собственной системе отсчета ускоренного наблюдателя. Для этого наблюдателя горизонт событий будущего определяется уравнением
х = t (X = 0, T = °о), и горизонт событий прошлого — уравнением
X = -t (X = 0, T = —°°).
В первом случае информация может поступить из области / в область //, а во втором — из области IV в область /, но обратное невозможно ни в том
146
9+
Рис. 7.3. Возникновение горизонта событий будущего (прошлого):
1 — горизонт событий прошлого; 2 -горизонт событий будущего
t
Рис. 7.4. Собственная система отсчета наблюдателя, движущегося с постоянным ускорением в пространстве Минковского
Рис. 7.5. Возникновение горизонта событий будущего для ускоренного наблюдателя (мировая линия L):
H* — горизонт событий будущего; Г — мировая линия геодезического наблюдателя; J+-изотропная поверхности
ни в другом случаях. На диаграмме (рис. 7.5) мировую линию ускоренного наблюдателя можно представить как линию, которая заканчивается BJ+, а не в Л.
В связи с постановкой задачи Коши в общей теории относительности возникают понятия области Коши, поверхности Кошй и горизонта Коши [148].
Область Коши будущего D+(Tl) определяется как множество точек, для которых непространственноподобные кривые, выходящие из них в прошлое, пересекают данную пространственноподобную гиперповерхность Tl (рис. 7.6). Аналогичным образом вводится понятие области Коши прошлого. Если CT(Il) U D+(Tl) =Ш, то #называют поверхностью Коши. Таким образом, на поверхности Коши можно задавать начальные данные и, в частности, через решение соответствующих уравнений описать всю эволюцию системы, для которой задаются эти данные. Грацу области Коши называют горизонтом Коши А/“.