Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
в полном соответствии с тем, что и следовало ожидать. Однако для момента импульса искомого результата не получается. Рассматривая асимптотически вектор (это в точности вектор Киллинга)
9W = Э?> = хдУ ~ уд* * “в (2)mcos^ - 0(1/1Sirv)/-sinfld^
как генератор поворотов вокруг оси симметрии z, приходим вместо требуемого значения момента та (ср. с [79]) к значению
Заметим, что и в подходах Комара и Пирани вычисленное значение момента импульса поля Керра не согласуется с истинным, и только псевдотензор Папапетру, учитывающий фоновую метрику при записи поля Керра в. форме Керра—Шилда, дает верные значения сразу и для массы, и для момента импульса.
Ферми-аитинаблюдатель в поле Шварцшильда. В этом случае целесообразно опираться на метрику Шварцшильда в однородных координатах [77, 123]. Тетрада, имеющая вид "квадратного корня" из метрики (а) д = rIafi VlV ^' автоматически оказывается параллельно перенесенной вдоль линий радиальной координаты, являющихся простран-ственноподобными геодезическими. Тем самым система отсчета ферми-антинаблюдателя реализована. Укажем здесь явный вид компонент тетрады:
ST0(O) = (I + /7)/(1 - Я), д\п = (1 + Я)-2, Я - ут/2г.
В этом случае суперпотенциал энергии, вычисленный на основании (5.17) и (5.18) для генератора % = д , имеет вид [80]
/ю = - (2ут/к) (1 + Я) (1 !г),..
Интегральная энергия при этом равна, как полагается, Е = ш, а плотность энергии, вычисляемая как дивергенция суперпотенциала, замечательным
$ = 0(О)Тогда
(здесь учтено асимптотическое поведение метрики Керра) и
к
x'rs\Inddddy =
2
— та. 3
126
образом содержит стандартный ньютоновский вклад (6.53 а) :
fi0 . = /77 (1 + /7)5 (Г) - 7/772/(8яг4) .
Слагаемое с 5-функцией записано здесь лишь ради формальной полноты, так как (хотя сама формула точная, а не асимптотическая) "точка" г = 0 не имеет физико-геометрического смысла, и вместо шварцшильдов-ской сингулярности естественно представить себе сферическое распределение вещества вокруг начала координат, вне которого и рассматривается гравитационное поле. Дальнейшие примеры можно найти в гл. 6 и 7.
5.4. КВАЗИЛОКАЛЬНЫЕ СОХРАНЯЮЩИЕСЯ ВЕЛИЧИНЫ
В последнее время в решении проблемы энергии-импуг.ьса (мы имеем в виду весь комплекс вопросов в целом, включая определение момента импульса и близкие вопросы, связанные с асимптотической структурой пространства-времени) наметились определенные сдвиги. Так, Шеном и Яо недавно была доказана теорема о положительности массы в ОТО [170]. Их результат относится к пространству-времени, асимпоти-чески плоскому на пространственной бесконечности, т.е. к случаю изолированных систем. Это одна из наиболее интересных ситуаций, так как здесь можно говорить об энергии, импульсе и моменте импульса системы, а также обсуждать вопросы излучения (анализ этих и связанных с ними вопросов см. в гл, 6 и 7). В изучении асимптотической структуры пространства-времени еще много нерешенных и трудных проблем, решение которых поможет в определении глобальных сохраняющихся величин. Наряду с этим до сих пор остается открытым вопрос о локализации гравитационной энергии. Многочисленные попытки найти подходящее выражение для плотности энергии гравитационного поля до сих пор не увенчались успехом. (В § 6.4 мы вернемся к этой проблеме с точки зрения ньютоновского предела ОТО.) Поскольку для обнаружения гравитационного поля необходимо иметь, как минимум, две пробные частицы (девиация геодезических), то отсюда возникает мнение о нелокализуе-мости гравитационной энергии. Другой аргумент заключается в том, что полная энергия системы определяется, как правило, через интеграл по 2-мерной замкнутой поверхности (при стремлении границы на бесконечность) .
Пенроуз [103] предложил концепцию квазилокальных сохраняющихся величин, определенных через интеграл по 2-мерной замнутой границе 3-мерной конечной области. В этом случае нет необходимости '"ухода" на бесконечность. Квазилокальные сохраняющиеся величины определяют импульс, энергию и момент импульса, содержащиеся в этой области. Они по необходимости должны учитывать вклад всех полей, включая и гравитационное. Один из возможных вариантов формулировки квазилокальных сохраняющихся величин основан на теории твисторов [103]. В их определении существенную роль играет пространство 2-мерных твисторов, ассоциированных с 2-мерной сферой, по которой ведется интегрирование. Мы не можем здесь углубляться в детали, так как это требует привлечения слишком многих новых понятий. Отметим только,
127
что 4-импульс по Пенроузу совпадает с 4-импульсом Бонди—Сакса,
а выражение для момента импульса очень близко к определению Тамбу-рино—Виникура [131], но содержит также члены, не входящие в их
определение. Дальнейшее обсуждение этих и близких вопросов
CM. в [67, 132, 157].
Из теоремы Нётер следует сохранение векторной плотности DDа (?) (3.47):
Ж* а = WTrKaa а (519)
Отсюда возникает определение квазилокального "импульса" P (?) через интеграл по 2-мерной границе с топологией сферы S2, ограничивающей
