Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
транством-временем Ш. Эта квазигруппа представляет собой обобщение группы аффинных преобразований. При этом векторы г) с начальными условиями г\\р Ф 0, = 0 генерируют сдвиги, а векторы с на-
чальными условиями Г)\р = 0, V^ 171р Ф 0 порождают бесконечно малые аффинные повороты. В силу того, что квазиалгебры gJp* wgJp",
где р', р" Є Vp - произвольные точки, изоморфны, инфинитезималь-ная квазигруппа локальных аффинных преобразований не зависит от выбора точки р — "центра" нормальной окрестности.
Опишем gJ -квазиалгебру в нормальных координатах Xа = ?т, где т — канонический параметр вдоль геодезической у(т):у(0) = р и ? = = Э/Эт. В нормальной окрестности Vp разложим вектор девиации в ряд , я а , ,2
п оп d Tj 1 dT\ a
17 = 17 -ь ------т +---------— т + 0 (т ) (5.8)
dT 2 dT2
(нуль над величиной означает, что ее значение берется в начале координат) . He останавливаясь на промежуточных выкладках, запишем связь между производными вектора 17 в начале координат и тензором кривизны:
db/dT = Vp; d2 TlZdT2 = — (2/3)Я (»7, ?)*.
При выводе последнего соотношения использовалось то обстоятельство, что — вектор девиации. Кроме того, в начале нормальных координат = 0. Поэтому (5.8) перепишем в виде
г = Vf1 + BfiaXa + - RVvxa)?^ + Otf), (5.9)
где — 4 х 4-матрица, определяющая значения vJf1. Для того что-
121
бы перейти к квазигруппе Пуанкаре, в (5.9) необходимо выделить подгруппу собственных вращений (ортохронную группу Лоренца), т.е. от расслоения линейных реперов L (Ш) перейти к расслоению ортонор-мированных реперов О (Ш). Генераторы квазигруппы Пуанкаре имеют вуд
+ Jtv^ + ^-R\Xg^ha +O(Xe). (5.10)
где (Jxv — матрица инфинитезимальных преобразований Лоренца;
c^fiv ~ -coVIi *
В соответствии с выбором начальных условий генераторы сдвигов записываются как
if = гр + (1/3) Rtlpxg^+0(*3), (5.11)
а генераторы поворотов как
rf = J1J?. (5.12)
(Можно локазатъ, что (5.12) — точное, а не приближенное выражение.
Кривизна не влияет на повороты!) В случае равной нулю кривизны (5.11), (5.12) переходят в обычные выражения для генераторов группы Пуанкаре.
Выясним связь квазигруппы Пуанкаре с группой изометрий. Пусть
в - вектор Киллинга, тогда ~ ^^v\ ^ Отсюда на основа-
в
нии (1.11) 0^ д; V ~^уя>о^а * Свернем это уравнение по индексам м! V с вектором ?: = 0. Тогда
v|0 + R (Bt *)* = 0,
т.е. вектор Киллинга в удовлетворяет уравнению девиации вдоль любой геодезической. Следовательно, группа изометрий входит как подгруппа в квазигруппу Пуанкаре.-Последняя является ее естественным обобщением на случай произвольного пространства-времени, когда отсутствует какая-либо подвижность. Анализ инвариантов квазигруппы Пуанкаре приводит к квазилокальным сохраняющимся величинам (см. § 5.4).
Исследуем структуру квазигруппы Пуанкаре в системе отсчета фер-миевского наблюдателя. Для фиксированного момента собственного времени г рассмотрим девиацию пространственных геодезических, ортогональных мировой линии наблюдателя. Вектор девиации представляется в виде ряда
і
d\ ^ 2 OfX2
J* = ф + ZJ-X +--------------------------L_ X2 + 0 (X3).
- л*
Наша задача состоит в том, чтобы выразить обыкновенные производные, входящие в это разложение, через ковариантные производные, тен-
122
зор кривизны и Stf1v* Для ковариантных производных в. начале фер-миевских нормальных координат имеем:
= d^/dX *
= d'?,W + Tiipv,,^Y + 2vfvT»pi' -- fyrhrt'p.
Отсюда на основании (5.4), (5.5), учитывая, что вектор г? удовлетворяет уравнению девиации, получаете
dQflZdX = Vpfx - Slfip^fi0;
d2 V11ZdX1 = (2/3) Rltbnn? Smhn + Sl0m^Hn- 2V It.
Представим ковариантную производную в виде
где = ^con у Тогда векторное поле
і/* = + (MZ)RfxijkXiXi + О (X3) (5.13)
генерирует пространственные сдвиги, векторное поле
l/* = SH - (1 - SI0.Xі) SlflpXp + OiX3) (5.14)
— сдвиги во времени, а векторное поле
Ijfl = COfx Xp - Slfx U04XpXt (5.15)
P Pl
порождает бесконечно малые преобразования Лоренца. Пространственные повороты генерируются векторным полем Вопрос о гене-
раторах гиперболических поворотов нуждается в более детальном обсуждении. Действительно, из (5.15) можно найти только, каким образом преобразуется координата Л°:
Хл = X0 + (1 - Sl0 XpKj0, Xt.
P 1
Поскольку речь идет об инфинитезимальных преобразованиях, то для нахождения зависимости X'1 (X^i) достаточно условия
VllvXrfiX'1' = TtllvXfiXv.
После несложных вычислений находим
Xri = Xі + (1 - Sl0pXp) CJ0iX0 - Sli XpU0iX1.
123
Обратим внимание на то обстоятельство, что во втором порядке кривизна пространства-времени не сказывается на сдвигах во времени. По*
правки к ^ в (5.14) обусловлены неинерциальностью системы отсчета. Они возникают уже в специальной теории относительности при переходе от инерциальных систем отсчета к неинерциальным. Обобщение группы Лоренца на этот случай было проделано в [135], причем она, как можно показать, фактически является квазигруппой преобразований, а не группой.