Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
и потребовать выполнения ни к чему нас не обязывающего (когда поле действительно слабое) условия
подобно условию Гильберта (5.1.2). Уравнения Максвелла мы взяли здесь в плоском мире и декартовых координатах (частная теория относительности) .
Говоря о слабом гравитационном поле, всегда следует иметь в виду, что это соответствует не просто малой величине кривизны во всей рассматриваемой области, а возможности покрыть эту область единой системой координат, такой, чтобы метрический тензор всюду мало отличался от своих «галилеевых» значений (метрики плоского мира в декартовых координатах). Это соответствует, грубо говоря, тому, что кривизна мира в среднем должна быть равна нулю; иначе, если бы, например, она была сколь угодно малой, но повсюду одинаковой (например, положительной), то мир замыкался бы, и очевидно, что в одной и той же системе координат метрический тензор бьщ бы весьма различен по своей величине, если только взять его в достаточно удаленных друг от друга точках.
G точностью до вторых степеней малой безразмерной величины у плотность скалярной кривизны (которой пропорционален гравитационный лагранжиан в теории Эйнштейна) равна
]/—g g\w = gUV _ 511V ----- y\iV
(5.1.1)
їГ, V = о,
(5.1.2)
то уравнения Эйнштейна приведутся к виду U уJiv = 2x?Vv,
(5.1.3)
весьма сходному с видом уравнений Максвелла для потенциалов П Avt, = —7ц,
(5.1.4)
причем условие Лоренца А* „ = О
(5.1.5)
(5.1.6)
152
тогда как электромагнитный лагранжиан имеет соответствующий член вида
1
— Lem = — У— g g^g^Fvp ^
+--- . (5.1.7)
л л
Здесь, однако, можно усмотреть определенное сходство между выражениями (5.1.6) и (5.1.7), если не сопоставлять в электромагнитном случае никаких величин гравитационному «скаляру» у = уаа, а в правой части
(5.1.6) сделать замену
— У 0*fy«P, Hvfitjv = [ — ~ У^Уар, цб^ J + J J/“P,nJ/«P, v6»*v, (5.1.8)
произведя соответствующее приведение подобных.
К аналогии между электромагнетизмом и гравитацией можно подойти и с другой точки зрения. Именно, можно сопоставлять друг другу 3-мер-ные формы уравнений полей. Тогда, если взять
' ' 3
Ai = — hou Ф = S hU (5.1.9)
г=1
(мы приняли для гравитационных величин электромагнитные обозйаче-ни я, не требующие пояснений) и определить далее
E = Уф (5.1.10)
и
H = TOtA, (5.1.11)
так что, как и в электродинамике,
(JivH = O (5.1.12}
и
-|5 +rot E = С, (5.1.13)
мы получим в качестве приближений для уравнений Эйнштейна
div E = —хр, (5.1.14)
SE
rot H-----— = — ^S, (5.1.15)
dt
Gih = —к-tik, (5.1.16)
іде латинские индексы пробегают пространственные значения (1,2,3)* Первые два уравнения — (5.1.14) и (5.1.15) — можно назвать квазиэлек-тромагнитными. В них р — плотность массы* a S — плотность потока энергии источников гравитационного поля. Уравнения (5.1.16) представляют собой тензорную часть, в этой интерпретации не имеющую аналогии в электродинамике. Нужцо сказать, что такие уравнения получаются лишь в том случае, если потребоваїь выполнения координатных условий и дополнительных условий
A1,, = О (5U7>
и
hu == оо* (5.1.18)
2 = 1
153
Эти условия являются, конечно, весьма сильными, так как наряду с тремя дифференциальными условиями (5.1.17) здесь налагаются условия алгебраические (5.1.18). Достоинством полученных уравнений является, однако, то их свойство, что из них следуют волновые уравнения, подобные электродинамическим. Здесь, впрочем, нужцо сказать, что волновые уравнения получаются как раз для той части гравитационного поля, которая не имеет ничего общего с поперечной, так что аналогия носит достаточно формальный характер.
Приведенный вариант аналогии поможет нам перейти к новому критерию оценки аналогичных друг другу физических величин для полей. Возьмем уравнение геодезической:
= - Г(Й(у°)2 - 2r«iW - (5.1.19)
OS2
Если, в соответствии со сказанным, учесть, что
Гоо, і = 2Еі (5.1.20)
ц
Го», і = BijjtHk + — Hij9 Qt (5.1.21)
то мы придем к следующему уравнению движения пробной частицы:
O2Xi
2 [EiIfi + [Hv]*} v0 + hijfiifivi - TijhViVk. (5.1.22)
ds2
Первые слагаемые в правой части — явный аналог силы Лоренца, последние же два члена можно интерпретировать как тензорные силы, не имеющие аналога в электродинамике.
Очевидно, понятие напряженности поля всегда должно связываться с движением частиц, на которые это поле может воздействовать. Если сила Лоренца записывается в виде правой части уравнений движения пробного заряда
/72гв о
-EiwIW* (5.1.23)
ds2 т
то мы на этом основании говорим, что тензор Fvlv является напряженностью электромагнитного поля. Уравнения электромагнетизма имеют тогда вид равенства дивергенции этой напряженности плотности тока источников поля:
Fv^ V = ]»*. (5.1.24)
Напрашивается вопрос: нельзя ли, хотя бы в приближении слабого гравитационного поля, привести уравнения Эйнштейна к виду
к = _ x2vvf (5.1.25)
где Sllvl — напряженность гравитационного поля, определяющая движение пробных масс; иначе говоря, требуется, чтобы уравнение
