Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
то мы и здесь сталкиваемся с возможностью введения спина, хотя и трудно что-либо сказать об общем рецепте полного анализа этого вопроса* Мы не будем больше возвращаться к этой последней иллюстрации.
Заметим, что было бы весьма интересно рассмотреть и другие ферми-онные поля, но уже с более высокими спинами *. Данный в предыдущем параграфе подход, конечно, также применим к ним; в то же время, возможно, удастся каким-то образом включить в рассмотрение и полд с целым спектром различных значений спина.
4.8. Квадрирование уравнения Дирака; уравнение Паули
и фермионно-гравитационно-электромагнитные эффекты
Обобщенное уравнение Дирака в общей теории относительности, описывающее заряженные частицы в присутствии электромагнитного поля, содержит характерный член Cv, + еА^ наводящий на мысль об аналогии между гравитацией и электромагнетизмом [особенно см. (4.5.42)]. Чтобы проследить следствия, вытекающие из этого заключения, построим ротор матричного вектора Cm, по аналогии с (4.1.3):
Сщсс Ca ;jA = С\х,а “ С а,[к =
Если вторично Ковариантно продифференцировать равенство (4.5.11) и провести альтернирование производных, нетрудно по правилу (8.6.31) записать тензор Римана — Кристоффеля в виде
согласующемся с (8.7.50). Сравнивая полученные выражения, найдем
Sp (Y^YV)<P, ц.
(4.7.12)
— YvY^ [ФJJ-V?,;а ФсетХ;ц “Ь 2ФцХрФам . 2ФдлфФа?.. ].
(4.8.1)
(4.8.2)
СР;а — Cafi Ca]— — Hafi-
(4.8.3)
Здесь использовано сокращение Def і
(4.8.4)
H аЭ = -RaPnvYtVr
1 Анализ властной теории относительности см в статьях Фирца и Паули (1939), Pa-рита и Швингера (1941).
нричем матричный тензор #ар эквивалентен тензору Римана — Кристоф-феля:
Sp(J?nvY«oY8) “ 2Шцг©8 (4.8\5)
так же, как матричный вектор Cix эквивалентен символам Риччи:
Sp (CVyvY*)=—(4.8.6)
(конечно, при определенности ^матриц а точке). Можро было бы брать обобщенный ротор типа (4.8.3) в применении к суммарному вектору Cv, + е Av, и выделить гравитационную и электромагнитную части путем шпурования (в случае гравитации по типу {4.8.5)). Так напрашивается формулировка «единой теории поля».
Операция квадрирования уравнения первого порядка сводится к повторному дифференцированию этого уравнения с учетом его в приведении членов. Часто дифференцирование осуществляется с помощью исходного дифференциального оператора или ему сопряженного. В случае уравнения Дирака (4.5,39)
iyfity, » — тя|) + Yja(cV + еАу)\|> = 0 (4.8.7)
мы воспользуемся при дифференцировании просто оператором іу»д / дх», дающим, конечно, тот же результат, что и собственно «диракиан», если впоследствии учитывать исходное уравнение (4.8.7)^ В ходе вычислений потребуется перебрасывать у-матрицу через Cil, что дает
YvY14CV = OfXatYvY^YaYt = - YjaCjxYv + 2CV + іФYjaYg, (4.8.3)
а также учитывать соотношения вида
YvY^CfX + еА*). V= (Cv + eAv)[V +
1
Г" CTfiv (ZTjxv + ^Fviv) “f~ IOixvCvtCv (4.8.9)
Li
и
—Yv(C'v + e^v)Ytl(C'n + еАц) — JYvY1; v(Cn + ^A11) =
= — (Cv + eAv) (О + еАч) — a^CpCv. (4.8.10)
В результате мы получим квадрированное уравнение в двух удобных формах:
? г|) — TUz^ = — 2i{Cv -J- e^4v) г|5, v — і (Cv +eAv) ; v^ —
- O^v (Hvlv + CJpfl4v)ф — (Cv + eAv) (Cv + eAv)xj) (4.8.І1)
Li
и
(Dv — і (Cv + eAv)) (Dv — і (Cv + eAv)) i|) + =
= (Hliv + eFjxv) a^v?, (4.8.12)
где оператор Dv, обозначает ковариантную производную обычного вида. Заметив, что
HixvO^v = OlivHixv = — -і-Д, (4.8.13)
можно сказать, что спин-грави>гационное взаимодействие в правой части
(4.8.12) отсутствует (в отличие от спин-электромагнитного). Переходя в
143
(4.8.11) к символам Риччи и учитывая равенства
Cv-Ctl = — J- Ф^яФ ~ Ф^Ф*"* (4.8.14)
16 8
и
<>;li =S-J-O^vXjKtfvN (4.8.15)
4
получаем третью форму квадрированного уравнения Дирака
/11' \
? ф — ( т2----—R------- Ф,паФ^ — ieAv. у — C2AyAv joj) —
t \ -1 О •
= 4z Ф,«аФ +( ^-Ф%Я; H — ^-Fvx — Л ) Ov^ —
16 \ 4 2 2 /
\
— 2 ieAvty, у + — Ф MatfvH1. V- (4.8.16)
Z
Здесь бросается в глаза наличие эффективной массы покоя фермионов в присутствии гравитации и электромагнетизма,
I 1
m%t — т2-------R------— Ф|*Уя.Ф,*,л — ieA% — e2AvAv, (4.8.17)
4 8 ~
из которой, однако, в дальнейшем выпадают отдельные члены, если рассматривать конкретные виды гравитационных полей. Отметим, что в поле Шварцшильда эффективная масса оказывается больше обычной массы покоя фермиона.
Для того чтобы получить уравнение Паули в общей теории относительности и анализировать конкретные эффекты, необходимо задаться видом гравитационного поля и калибровкой уматриц. Мы проведем соответствующие вычисления для сочетания поля Шварцшильда и поля вращающегося тела (см., например, «Теорию поля» Ландау и Лифшица), пренебрегая величинами, квадратичными по гравитационной постоянной. Тогда
1I Oo2 bi
(4818)
где
2 уМ
I — а0 = ai — 1 =------ (4.8.19)
г
и
2у х*
bi =-----I-Mih (4.8.20)
г2 г
В том же приближении ¦(**")“ (f -%)¦
Здесь Mij — момент импульса источника гравитационного поля. Обобщенные матрицы Дирака мы выберем в виде
