Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
D
т0 —^— = т<Д. VXp VvVxIPf (5.4.17)
dv
в уже обсуждавшемся смысле аналогичную форме уравнений (5.4.4); их можно привести и к виду, подобному виду уравнений (5.4.5):
DvV» и
Pm—= PmR-VlpVvVHo. (5.4.18)
Так как на этом основании мы можем интерпретировать тензор кривизны Римана — Кристоффеля в качестве напряженности гравитационного поля (по крайней мере, как его относительную напряясенность), то очевидно, что аналогом уравнений (5.4.2) являются тождества Бианки
¦ff.TJAVjX “I“ -R.TVXjM, -j- -R.tMAjV = 0. (5.4.19)
Заметим, что и уравнений (5.4.2) оказываются тождествами, если предполагать, что электромагнитная напряженность имеет вид ротора потенциала
FIAV = -4v;JX -4jA;V (5.4.20)
точно так же, как и тождественное выполнение уравнений (5.4.19) имеет место, лишь когда мы интерпретируем тензор как обобщенный ро-
тор для символов Кристоффеля
D|i дТур дГуХ , Г,Ц ^cc /с ,
. vXp— ' mQtfP—Г vP ^aplvA,, (0.4.Z1)
или, еще лучше, определим его с помощью ротора матричного вектора
(4.8.3) по формуле (4.8.5) *.
Итак, аналогом уравнений (5.4.3) должны быть уравнения с дивергенцией тензора кривизны в виде
R-T|AV;<J = ^TJlV, (5.4.22)
где остается определить величину тензора «гравитационного тока» Qx^ Для этого мы прежде всего заметим, что, свертывая один раз тождества Бианки (5.4.19), нетрудно получить тождества
R-T|AV;<J = Rx[l;V RxV;[l* (5.4.23)
Если же теперь, опираясь на теорию гравитации Эйнштейна, подставить сюда ее уравнения в форме
R[av= x^TVv ~^T^AV^T)’ (5.4.24)
1 Иначе говоря, для вывода этих уравнений недостаточно учитывать лишь алгебраические свойства симметрии тензора кривизны, но уже излишне учитывать выражение символов Кристоффеля через метрический тензор и его производные.
11* 163
то мы придем как раз к квазимаксвелловским уравнениям (5.4.23), где
1
= X ? Тх\,\1 TxviV (grvT^n gxцТу)
(5.4.25)
Замечательно, что этот гравитационный ток, равно как и электромагнитный ток j*, удовлетворяет уравнениям сохранения
Qxiiy,г = О (5.4.26)
в силу тождеств
-R°%v;(j;t S= 0, (5.4.27)
которые легко доказать следующим образом. Учтем в левой части (5.4.27) антисимметрию тензора кривизны по первым двум индексам. Мы получим тогда
R- . JJLV;<7;T = (R• • JW;(7;T R• • JlV;T;(j) , (5.4.28)
выражение, где взято альтернирование по индексам, обозначающим кова-риантное дифференцирование. Поэтому правило (1.76) дает
2R%^ = i?a?p.V-Ra0QT + Re%Ra^r +Rtlv RW + ftaVaRav<rx, (5.4,29)
и после приведения подобных с учетом алгебраических свойств тензора Римана — Кристоффеля правая часть тождественно обращается в нуль, подтверждая тем самым справедливость утверждения (5.4.27). Итак, мы нашли полное подобие между всеми записанными в начале этого параграфа уравнениями электродинамики и уравнениями гравитации1, исключая только самую правую часть уравнения (5.4.5), так как распространение на нее этой аналогии потребовало бы выполнения равенства DvV* и
pm^kr = r^qvkp' (5.4..3°)
не вытекающего из формы тензора энергии-импульса для некогерентной материи (пыли), обычно используемого в качестве T1tw в уравнениях Эйнштейна как выражения, наиболее простого и более всего подобного конструкции плотнЪсти электромагнитного тока (5.4.6). Таким образом, имеет место альтернатива: либо следовать во всех деталях теории Эйнштейна, пользуясь выражением (5.4.25) для @T|av, либо взять, согласно
(5.4.18) и гипотезе (5.4.30), для QXVlv выражение
1
QvKр _ pmVv (уЦр — vpft} (5.4.31)
сі
[или подобное ему с ючностью до члена, обращающегося в нуль в результате умножения на тензор кривизны в (5.4.17); последнее, однако, противоречило бы уравнениям (5.4.22) ].
Уравнения (5.4.19) и (5.4.22) замечательны своим сходством р уравнениями Максвелла. Они квазилинейны относительно тензора Римана — Кристоффеля — напряженности гравитационного поля, так как содержат, вследствие применения ковариантного дифференцирования, переменные
Близкие идеи, не выраженные, однако, систематическим образом в виде приведенных здесь систем уравнений (5.4.22), (5.4.25) и (5.4.27), высказывались ранее Мат-том (1953) и Румером (1962). Следует подчеркнуть блестящий математический анализ гравитационно-электромагнитной аналогии в статье Матта, которой недостает лишь перевода на язык формализма хронометрических инвариантов Зельманова для наиболее полного сопоставления электрической и магнитной напряженностей и соответствующих величин гравитационного поля. Cm. также очень интересный подход Петрова (1967).
t64
коэффициенты. При этом потенциал гравитационного поля представляет собой собрание компонент символов Кристоффеля 2-го рода, а связь его с метрическим тензором здесь просто игнорируется1. Если перейти от этого определения потенциала к тому, которое мы получили в § 4.8 в процессе квадрирования уравнения Дирака (4.8.7), эти соображения представляются заслуживающими внимания.
Аналогия между уравнениями (5.4.2), (5.4.3), с одной стороны,
и (5.4.19), (5.4.22) —с другой, показывает, что в случае гравитации возможны и построения, подобные проведенным в электродинамике, типа
