Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
119
тензора энергии-импульса при этом выборе лагранжиана:
T7^5V = 0. (4.6.23>
Мы уже видели в предыдущем параграфе, что использованный здесь добавок к дираковскому лагранжиану должен быть истолкован как лагранжиан взаимодействия фермионного и гравитационного полей. Проделанный только что анализ еще раз подтверждает это. Действительно, мы показали* что этот добавочный лагранжиан обеспечивает совместность уравнений: Эйнштейна, если последние выводятся из вариационного принципа в рамках более широкого определения 7-матриц (4.5.44). Вообще говоря, взаимодействие с гравитационным полем отражается и в других частях полного лагранжиана (4.5.30), так как ^-матрицы содержат, кроме постоянной составляющей, характерной для плоского пространства, и собственно гравитационную часть, что особенно отчетливо видно в квантовых разделах этой книги. Однако, как мы увидим при анализе квадрированного уравнения Дирака в общей теории относительности и соответствующей формулировки уравнения Паули, лагранжиан (4.5.33) (или другие его формы) отвечает наиболее типичному взаимодействию фермионного поля с гравитацией и приводит к эффектам, весьма аналогичным эффектам фермионно-электро-магнитного взаимодействия (эффект Зеемана и пр.). Тот факт, что этот же лагранжиан (4.5.33) дает при реализации теоремы Нётер и наблюдаемое значение спина электрона (не часть его, а все значение в целом!) становится ввиду этого еще более знаменательным. К рассмотрению этого вопроса мы теперь переходим.
4.7. Сохраняющиеся величины и шин фермионов
Прежде всего мы вычислим здесь динамические характеристики фермионного поля, фигурирующие в теореме Нётер.
Тензор обобщенного спина фермионов отличен от нуля, несмотря на то обстоятельство, что фермионные потенциалы инвариантны относительно преобразований координат — их коэффициенты преобразования равны нулю. Дело в том, что в выражении (2.4.22) для MJt суммирование по В охватывает все поля, включенные в данный лагранжиан; а так как лагранжиан (4.5.35) зависит от производных -у-матриц и коэффициенты преобразования последних отличны от нуля, то мы должны записать:
CtT 9L х І У-” S /SF-TJV
Ma = -T- УаЬ -----------------;-IfTat-Ij). (4.7.1)
Oya1^ 4
1 аЪу а
Мы повторим здесь выражение для симметричного тензора энергии-импульса (4.6.21):
Tgx = tpYttp, a + IpYaH*. х —•ф, OY^ — ф, TYatp +
Ч—ф[ (YctY^; tYa ~ YaYa; VYa) + (YaY“; aY* ~ Y*Y“; aYa)]| Ф- (4.7.2)
Простой подсчет показывает, что след Tox равен
Tvv=Wifaj). (4.7.3)
Канонический квазитензор равен
ta« = ——— [^pVaIp, a — Ір, aY“tp — (YaY“. aYn — Yi^Y11 aY“) tp ]. '4.7.4)
!40
а его след совпадает со следом Tot:
ta“ = У — gWMjjlJ). Так как
(4.7.5)
(4.7.6)
то след спиновой доли энергии-импульса равен нулю,
(4.7.7)
а сама величина U“ равна
4
(4.7.8)
Как следует связывать обобщенный спин с обычным спином, рассматриваемым в частной теории относительности? Чтобы ответить на этот вопрос, следует вспомнить соотношение (2.4.83):
Отделяя орбит$льйую часть момента, пропорциональную 4-мерному радиус-^ вектору», мы получаем в качестве спина, антисимметричного по двум последним индексам, величину
норелятивистской теории поля [см., например, (Боголюбов и Ширков, 4957)]. Подставляя в (4.7.10) обобщенный спин в форме (4.7.1), находим
Этот результат в точности совпадает с общепринятым (см., например, только что процитированную монографию).
Итак, в качестве «бесплатного приложения» к симметризации метрического тензора энергии-импульса (4.7.2) и обращению в нуль его кова-риантной дивергенции мы получили еще и правильное выражение для спина фермионов (квантование его рассмотрено в § 6.5). Такое тройное совпадение, конечно, могло бы удивить, если бы нам не был известен уже развитый формализм спинорных полей в тетрадной форме; однако в любом случае нельзя не признать исключительной стройности этой теории.
Можно рассматривать добавочный член в лагранжиане (4.5.30), обеспечивающий это тройное совпадение, как следствие уравнений Эйнштейна и поэтому связывать его в первую очередь с гравитационным полем. Действительно, этот член тождественно обращается в нуль, если пространство-время плоское. Таким образом, спин фермионного поля целиком обязан взаимодействию этого поля с метрикой. Знаменательно, что этот спин не обращается в нуль в плоском мире в противоположность тому члену в лагранжиане, которому он обязан своим существованием [в выражениях (4.7.1) и (4.7.11) не содержится уже производных у-матриц]? Такой «парадокс» в действительности не парадоксален: так как член в
CgaIiXv — CgavX* + M TigavXii — ^xv) ,T = UlaIiv.
(4.7.9)
SaIiv == — S“v>* = MoVv — MaVli.
(4.7.10)
Это выражение, включая знак, вполне соответствует используемому в част-
141
лагранжиане содержал лишь первую степень производной Y-матрицы, то дифференцирование его по производной v-матрицы же сделало его не за-висящим от таких производных, и член, который должен быть малым в том случае, если кривизна мала, дает вполне конечную, существенным образом не зависящую от кривизны величину плотности спина. Электромагнитное поле в известных нам случаях не дает такого эффекта просто потому, что в лагранжианы взаимодействия не входят производные его потенциалов, а коэффициент преобразования электромагнитного поля пропорционален 4-потенциалу и, следовательно, обращается в нуль в отсутствие поля. Таким образом, гравитация занимает в этом отношении исключительное место. Например, если взять обычное (1-компонентное, в отличие от 4-компонентного фермионного поля, также скалярного в зоммерфельдовском представлении) скалярное поле и добавить в его лагранжиан член взаимодействия с гравитацией в форме
