Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Вопрос о том, какие именно выражения следует использовать в действительности, решается на основании близости ’ свойств вытекающих из них скобок Пуассона в теории поля и общеизвестных механических скобок Пуассона К Если потребовать, чтобы варидпионные производные не зависели от конкретного выбора гиперповерхности (т. е. в их структуре не фигурировали компоненты вектора нормали), то следует предпочесть первый вариант — уравнения (2.6.17) и (2.6.18). Более того, как легко проверить, исходя из приводимого ниже выражения для скобок Пуассона,
? Мы рассматриваем здесь лишь так называемые «невырожденные поля», у которых число тождественно не равных нулю и линейно независимых компонент ПВа строго в четыре раза превышает число аналогичных компонент As (например, фермион-ное поле). В противном случае приходится вводить в рассмотрение так называемые связи (см., например, Дирак, 1961; Фаддеев, 1968), значительно усложняющие анализ теории. «Вырожденные поля», по-видимому, требуют каждый раз индивидуального рассмотрения. Мы кратко коснёмся некоторых общих свойственных им черт в конце этбго параграфа.
(2.6.17)
и
(2.6.18)
либо
(2.6.19)
и
(2.6.20)
а при использовании определения (8.3.13) —
(2.6.21)
и
(2.6.22)
53
форма (2.6.20) не приводит к противоречиям лишь в том случае, когда дифференцируемая функция зависит от канонических импульров лишь в комбинации с вектором нормали; ПБагг<*
В классической механике йкобки Пуассона часто вводятся, исходя из дифференцирования по времени некоторой функции координат и импульсов (можно также исходить из так называемых скобок Лагранжа и строить обратные им выражения, но такой путь сложнее). В теории поля при установлении вида скобок Пуассона мы также будем исходить из результатов дифференцирования некоторой функции канонических координат и импульсов F (Ав, ПВа) по геометрическим координатам X^1 заметив сначала, что символические уравнения (2.6.17) и (2.6.18) являются не чем
иным, как уравнениями Гамильтона в теории поля, так что их следует использовать при выводе скобок Пуассона точно так же, как это делалось в классической механике.
Подставляя в выражение для производной некоторой функции F
°F dF dF Ва /ft л
ГТ=^-'Ав^ + Ш^П Л (2-6-23>
дх§ о Ab дПВа
производные канонических координат и импульсов из уравнений Гамильтона (2.6.17) и (2.6.18), мы получаем
dJL= С Г дР{%) А°Рр SVx г>-
бхї J Lmb(I) Anpv(i) к
dF(l) AVPp ^ „ч Ijc(I) /осолч
~шЧЁГ A^b(I)6 ’ (2-6-24)
а так как (см. § 8.4)
AvF(x) OF(I)
АЛВ(|) OAb(I) A aF(x) oF(l)
6V (х,|) (2.6.25)
¦б* (*,6), (2.6.26)
AIIbv(I) an®v(t)
то окончательно имеем определение классических скобок Пуассона в теории поля
№(1> == №),Г A’f (*) , ------
' К h р/ H AAb(I) АПв*(Ю
ДТРр WS). (2.6.27)
АПВг(|) AAb(I)
Мы были вынуждены воспользоваться здесь интегральным выражением, так как р дальнейшем скобки Пуассона должны записываться также для двух функционалов, а не только для функции и функционала. Кроме того, только такоеі выражение обладает характерными для обыкновенных скобок Пуассона свойствами (например, антисимметрией относительно перестановки входящих в них величин).
Итак, классические скобки Пуассона в теории поля имеют, при нашем подходе, вид
Если же как F1 так и G явлщотся не функционалами, а фунщщями [в вьь 54
ражении (2.6.28) они обе могут быть и функционалами!], то на основании определений (2.6.25) и (2.6.26) получим
{F(*),G(*')} =
dF 8G
OF SG
оАв дПВт OUbx оAb
бт (х, X').
(2.6.29)
Приведем теперь конкретные результаты применения скобок Пуассона в теории поля к различным величинам для того, чтобы показать, насколько далеко простирается аналогия между механическими и полевыми закономерностями. Сначала введем следующие удобные обозначения:
и
Пс= J пc°dSa Abo == Ab dSo.
(2.6.30)
(2.6.31)
Выпишем теперь значения скобок Пуассона для различных величин (проверка этих значений не представляет затруднений):
[Ab(X)1 Пса(х')}= 6в8а(х1 х'),
{4В (*),№} =Sb,
{А ва, П«(х)}=бвба,
{Лва, ПС}=бв$
{Лв(*),МГ (*')} = flB I P (х, Xr) >
{4в,5ра} = ав |р,
{Лва,5р«} =5 aBltdSa,
{Мр“ (ж),Пв?(х')} = |p6v(г,*'),
{Яр®,Пв^(х)} = ПСхпхпЧс |р,
{MT (*),ПВ} = П^(х)ас |р И {•V,Пв} = $ UcaUcllUsa,
{5р«, Pa} = 5 M03IadSe,.
(2.6.32)
(2.6.33)
(2.6.34)
(2.6.35)
(2.6.36)
(2.6.37) (2.6.88)
(2.6.39)
(2.6.40)
(2.8.41)
(2.6.42)
(2.6.43)
Из этих выражений видно, прежде всего, что операция интегрирования может быть внесена внутрь скобок Пуассона, как если бы они представляли собой просто алгебраические конструкции из величин, стоящих в этих скобках. В самом деле, например,
5 {Мра (г), Пв* (Xf)} dS™ = ис^пхпУас | р,
(2.6.44)
что можно сравнить с выражениями (2.6.40) и (2.6.39), а также [см. (2.6.43)]
55
(мГ,ра) = мІ%,
5 {MT,Pa}dSx = \ Mf,adSx.
(2.6.45)
Такое соответствие делает весьма вероятным обычный путь перехода от классической теории к квантовой с помощью предлагаемых скобок Пуассона в Теории поля.
