Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
4-мерного контравариантного вектора при чисто пространственных преобразованиях координат
IV. При линейных преобразованиях координат интегральный «вектор» энергии-импульса
преобразуется как свободный 4-вектор; кроме того, он не должен изменяться при преобразованиях, совпадающих с тождественным преобразованием на больших пространственных расстояниях, а в остальном произвольных.
V. В системе центра масс «вектор» энергии-импульса должен иметь
вид
Мы почти не изменили формулировки Мёллера, заменив только сильный закон на слабый и причислив добавочное утверждение, сделанное
------ 0.
хн = хн (хк); х'° = хР.
(2.5.1)
(2.5.2)
(Pa) = (M9 0,0,0).
(2.5.3)
45
самим Мёллером, к числу его требований (требование V). Эти требования вполне естественны, и первые два автоматически выполняются для величин, следующих из теоремы Нётер. Требование III, очевидно, обеспечивает инвариантность интегральной энергии любого (в том числе не изолированного) объема при чисто пространственных преобразованиях, что не допускает возникновения уже упоминавшегося парадокса Бауэра (в этом смысле это требование необходимо и достаточно). Лишь требования IV и V предполагают островную модель вселенной, и эта модель их вполне оправдывает. Прокомментируем лишь неизменность Pa при произвольных преобразованиях (пространственных и временной координат) г совпадающих с тождественным преобразованием на бесконечности. Дело в том, что, говоря о лйнейных преобразованиях, Мёллер имел в виду преобразования Лоренца и пространственные повороты частной теории относительности; все они хорошо определяются вдали от физической системы, где пространство практически плоское; вблизи от системы и в ней самой* где мир искривлен, понятие прямой теряет смысл, и мы не знаем (в принципе), какие преобразования считать линейными. Поэтому там предлагается использовать любые преобразования четырех координат.
Обсуждение вопроса о том, как согласуются с требованиями Мёллера конкретные выражения для квазитензора энергии-импульса, полученные разными авторами, мы отложим до вывода этих конкретных выражений. На данном этапе мы можем только воспользоваться общим аппаратом теоремы Нётер. Покажем, пользуясь им, что инвариантность лагранжиана гарантирует выполнение условия III.
Мы уже отметили присутствие истинных скалярных плотностей в выражениях (2.4.16) и (2.4.19). Кроме того, мы придали явно тензорную форму (форму плотности ковариантного вектора) выражению, стоящему в первых квадратных скобках в равенстве (2.4.20), а именно (2.4.34). Так как это выражение скалярно умножается на контравариантный вектор* то это дает скалярную плотность [что можно проследить и с помощью выражений (2.4.16) и (2.4.19)]. Поэтому дивергенция, фигурирующая »
(2.4.20), также дает скалярную плотность, и следовательно стоящее во вторых квадратных скобках выражение
является плотностью контравариантного вектора, т. е. преобразуется цо закону
при самых общих допустимых теорией относительности преобразованиях координат
(теперь это уже не обязательно бесконечно малые преобразования!). Мы знаем, однако, что Iia — контравариантный вектор, так что
(2.5.4)
А'а(х') = |/|-1АХ(*)_
(2.5.5)
х'» = X^(Xa)
(2.5.6)
(2.5.7V
(2.5.8)
и
46
Подставим теперь эти соотношения вместе с выражением (2.5.4) в закон преобразования (2.5.5); в получившемся равенстве следует собрать вместе члены с и р; Если здесь снова, как и в теореме Нётер, вос-
пользоваться произвольностью вектора Iii и его производных (имея, конечно, в виду, что вторая производная IJbv p симметрична по нижним индексам), нетрудно вывести из полученного равенсгва законы преобразования:
V . dxv I Oxfa /а д дх'° /ат д2 дх'° /атв \
и'-171*?г(*ги* +-S*SS“S*N- ]•
(2.5.10)
V*. дх? г Bxfts дх^ /«.г / дх^ д Sxra
М|1 = [ дх» дх'* Ма + ( 0аЛ дх'Ь дх» +
д* д дх'° ex'* № \ ,атР 1
J дх'Ъ дх'х дх» дх» дх'х дх'$ /aJ
<2-512>
Таким образом, мы получили обратные преобразования — от штрихованной системы координат в нештрихованную; чтобы перейти к прямым преобразованиям, в полученных соотношениях следует просто переставить штрихи и взять вместо |/| обратную величину IJrI-1. Так как в соотношении (2.4.54) Ta06 — тензорная плотность, то (2.5.10) сразу же дает закон преобразования канонического квазитензора энергии-импульса:
flr'v / Qxa д дзР З2 д'г0 \
^ ^ Oxa V Qx'v дх? ax'11 дхх дх$ дх/
(2.5.13)
Итак, плотность биспина является просто тензорной плотностью веса + 1 и ранга 4; плотность обобщенного спина образует вместе с плотностью биспина геометрический объект; канонический квазитензор (или спиновая доля энергии-импульса) также образует вместе с плотностью обобщенного спина и плотностью биспина геометрический объект. Напомним (см. сноску на стр. 12), что под объектом мы понимаем величину, компоненты которой при преобразованиях координат комбинируются друг с другом, причем коэффициентами в этих комбинациях служат производные (различных порядков) одних координат по другим (важно, чтобы никакие другие величины не входили в закон преобразования объекта!). Можно сказать, что полученные из теоремы Нётер физические величины типа плотностей образуют три объекта, «вложенных» друг в друга, и простейший из этих объектов представляет собой плотность тензора.
