Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
U1 = U2 = U3 = В(г); U0= T (г). (3.3.19)
Подтвердим, вместе с тем, допустимость предположения о диагональности метрики. Произведем для этого инверсию одной пространственной координаты ха (индекс а фиксирован) * Тогда
SfIiafaf) == —Sliafa) і (3.3.20)
если
Х'П _ хц^ х'а — —Ха, \к ф CL. (3.3.21)
Такая инверсия в силу симметрии и неизменности г, не должна ничего изменить, и штрихованный метрический тензор должен быть равен нештрихованному, так что в силу (3.3.20) недиагональные компоненты должны обратиться в нуль. Конечно, все это зависит от выбора системы координат, но самая возможность диагонализации метрического тензора сразу во всем пространстве — времени является следствием сферической симметрии.
Заметим, что (R' = dR / dr)
Rli = Rf-, S (ЯО2= (Д')2,
Г
2 Дм = AR = R" + -R'; ^ (3,3,22)
г г
аналогичные выражения могут быть записаны и для T (г).
68
Рассмотрим сначала уравнение (3.3.48) для Tu = 0 при т = 0. Ввиду статического характера поля получим
2 Wk, і 2 2 Hi, а = 0. (3.3.23)
і, І* ft, Ф г, j, Ф
Раскрытие этих сумм дает
AR—= о. (3.3.24)
Здесь удобно использовать подстановку
Д(г) = -21па(г), (3.3.25)
приводящую уравнение (3.3.24) к виду
Да = 0. (3.3.26)
Имея в виду, что при г = 0 может существовать особенность, следует взять решение этого уравнения в виде
С
а (г) = — + const. (3.3.27)
Константу интегрирования определим из тех соображений, что на пространственной бесконечности мир предполагается плоским, так что при Г-+ оо, —1, CLi-+ I, Р-+0:
« = 4 + у. (3.3.28)
Примем теперь т = к. Тогда уравнение (3.3.18) при Tu = О примет вид
S “n,ft,»v,h + 2 2 (цй. <«n, і — і —
I*, Vj (ft), Ф Ц, І, W- Ф
— Иц, i, i) + 2 uK і“и. і = (3- 3. 29)
п, г, X (ft), ф
Явно выделяя в этих суммах временные и пространственные члены и производя приведение подобных, получаем
AT — AR + Tt h, ft + R, ft» k + 277, ^ Rt k +
+ Rt hR, k - T71 hT, h + (Г)2 = 0. (3.3.30)
Мы получили систему уравнений, каждое из которых содержит ряд одинаковых членов, которые полезно выделить. Для этого мы воспользуемся соотношениями (3.3.22) и выражениями типа
I XkXk
Tthtk = -T'——— T' ч——— Т".
ГГ3 Tl
„ (3.3.31)
Тогда мы получим
AT + AR — (Т')2 —-Tf--R' =
Г г
XhXk Г 3 3 1
= -j- [AT+ AR-------------Tf ——Rf + (Я')2— (Г)2 + 2ГR' J. (3.3.32)
69
Обе части этого равенства должны обращаться в нуль порознь ввиду присутствия справа множителя xhxk. Сравнивая выражения в обеих частйх, можно заключить, что
где уже определено значение константы интегрирования на основании поведения метрического тензора на бесконечности. Переходя к первоначальным переменным, можно записать полученное решение в виде
в сферической системе координат. Использованная здесь система носит название однородной системы коордднат, так как в ней gn = ?22 = ?зз. Она весьма удобна, но не по той причине, как ошибочно полагают некоторые авторы [например, Эдднщгтон, 1934, стр. 172], что только в ней скорость света одинакова во всех направлениях. Однако часто пользуются
70
2
—{Т + R)' = R'(R + 2T)'.
(3.3.33)
Подставляя сюда (3.3.25) и полагая
T(r) = 1па(г) In Р(г),
(3.3.34)
получаем уравнение
а'р + р'а = — 2га'Р'.
Решением этого уравнения, с учетом (3.3.28), является
(3.3.35)
(3.3.36)
(3.3.37)
и
(3.а.38)
или для метрического тензора
(3.3.39)
Тогда квадрат четырехмерного интервала имеет простой вид
(3.3.40)
где
<й2 = dx2 + dy2 -f- dz2 к декартовой и
<Й2 = ^r2 + г2 (<202 + sin2 0Йф2)
(3.3.41)
(3.3.42)
координатами кривизн; их иногда просто называют сферическими, в которых
ds2-
I С'\ dr'2
(I - —, Jdt2------------------------— — т* (ей2 + sin2 0?2). (3.3.43)
/= OO
\r = OO;
Решение Шварцшильда характерно тем, что имеет резко различные свойства в двух указанных системах координат, хотя переход между этими системами осуществляется простым преобразованием:
I С \2
1/ = /-(1+-), (3.3.44)
причем
C = AC. (3.3.45)
Это преобразование, однако, своеобразным образом смешивает разные области пространства; можно, например, установить такие соответствия:
{Г==0, (3.3.46)
Kr = оо:
С (3.3.47)
г'= (3.3.48)
Последнее, очевидно, не имеет смысла, так как г, по своему определению, — величина положительная.
В форме (3.3.43) решение Шварцшильда испытывает удивительное превращение на «особой сфере» г' = С', когда первые два слагаемых в
(3.3.43) меняют знаки. Если мы требуем, чтобы положительный член в квадрате интервала определял время, то следует заключить, что временная и радиальная координаты меняются здесь местами, и метрика становится внутри «особой сферы» принципиально нестатической:
ds2 = —-I*--------(Sr- l) dr2 — t2(dQ2 + sin20?2). (3.3.49)
С /1 — 1 \ ? •
Однако это «время» ограничено сверху величиной Cr', по «истечении» которой метрика становится снова статической (3.3.43), а вторгнувшийся в сферу объект оказывается тогда «вытолкнутым». Впрочем, исследованию особенности такой формы интервала посвящено много работ, и их об^ор потребовал бы надолго отклониться от нашей темы i.
