Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
1 Cm. пример такой аргументации у JI. Д. Ландау и Е. М. Лифшица (I960), стр. 100 и 101.
43
соотношения Нётер (2.4.26) — (2.4.28), получим для сохраняющейся величины плотность
где параметр є отражает малость вектора а через Gm обозначен суперпотенциал, который легко поддается антисимметризаиии. Мы имеем тогда закон сохранения в дифференциальной форме:
Формально здесь можно брать любые Sjii, в том числе их комбинации r виде матриц. Поэтому мы вправе взять в хронометрически инвариантной форме:
Подставляя (2.4.86) в конструкцию (2.4.84), получаем аналог сохраняющейся плотности, стоящей в уравнении (2.3.26). Отсюда следует интегральная величина по аналогии с (2.3.27). Ее шпур, деленный на 4, дает энергию системы (соответственно легко получить и плотность этой энергии), а шпур ее произведения с матрицами щ, взятыми в мировой точке наблюдения, дает импульс. Плотность импульса в этом случае содержит взаимосвязь матриц аг* в точках локализации поля и положения наблюдателя, что, однако, неизбежно. Совершенно очевидно, что мы получили таким образом хронометрически инвариантные выражения для энергии и импульса в общей теории относительности (первое — 3-скаляр, второе —
3-вектор, отнесенный к точке наблюдения). Эти величины подчиняются точному закону сохранения в силу (2.4.85) и определены однозначно при задании лагранжианов полей и поля у-матриц. Аналогичные операции могут быть просто проделаны и в тетрадном формализме, что ввиду изоморфизма между обоими подходами, конечно, дает гот же самый хронометрически инвариантный результат.
2.5. Трансформационные свойства сохраняющихся величин
Вопрос о том, по каким законам преобразуются в общей теории относительности сохраняющиеся величины (точнее: их плотности), не просто плод любознательности, но необходимая деталь в понимании природы энергетических характеристик физических объектов. Когда Эйнштейн ввел понятие энергии гравитационного поля, то Бауэр сразу же показалг что, хотя в плоском м;ире в декартовых координатах гравитационная энергия равна нулю, в том же плоском мире при введении сферических координат эта энергия оказывается бесконечно большой!1 Ho ведь в плоском мире гравитационное поле отсутствует* более того, переход от декартовой системы к сферической, не предполагает никакого движения этих систем друг относительно друга, т. е. преобразование координат в этом случае совершается в рамках одной и той же системы отсчета. Поэтому нельзя говорить о появлении какого-либо аналога кинетической энергии или об энергии поля сил инерции — ничего подобного здесь не может быть. И все же энергия в форме, данной Эйнштейном, резко изменилась при таком «безобидном» преобразовании...
1 Конкретные величины и обсуждение см. в § 3.7 й 3.8.
(2.4.84)
wa>a = 0.
(2.4.85)
Io / T^OO = є/, Iі = е • а\ где 3-мерные матрицы Дирака (векторная и скалярная) суть
a* = Py* = —TiP5 P2 = I-
(2.4.86)
(2.4.87)
44
Следовательно, так как энергия — одна из важнейших характеристик физических систем, ее следует с самого начала подчинить каким-то достаточно жестким требованиям. Для этого следует руководствоваться физическими соображениями, которые, к сожалению, часто формулируются только в интегральном смысле — для мира в целом. Речь идет о том, что, как обычно, мерилом разумного определения основных понятий служит здесь соответствие частной теории относительности, г. е. существующей в ней ситуации. В этой теории энергия и импульс вместе образуют 4-вектор (относительно лоренцовых преобразований). Ho в общей теории относительности нельзя ввести преобразования, последовательно аналогичные лоренцовым, так как в искривленном мире не существует понятия прямой линии, а значит, и равномерного прямолинейного движения, тем более, что речь идет не о локальном преобразовании, а о преобразовании для конечной области пространства. Поэтому, сосредоточив всю материю в ограниченной области пространства и оставив «пустой» бесконечность (так называемая «островная модель» вселенной), можно посмотреть на такую вселенную «со стороны». Наблюдатель окажется тогда в практически плоском пространстве и сможет описывать рассматриваемую систему (вселенную) на фоне этого плоского мира, т. е. в терминах частной теории относительности. И хотя Вселенная (с большой буквы, т. е. реально существующая) имеется у нас лишь в единственном издании, теория вовсе не обязана описывать только ее одну — теория должна давать разумное описание любой системы, лишь бы мы задали какие-то начальные и граничные условия. Поэтому, худо ли, хорошо ли, мы и обратимся к вопросу об энергии-импульсе с точки зрения «стороннего» наблюдателя. Такой подход сформулировал Мёллер (1961а, б).
Требования Мёллера
I. Канонический квазитензор t^v в произвольной мировой точке (#^) должен быть аффинной тензорной плотностью веса +1, алгебраически зависящей от потенциалов полей, их первых и вторых производных в этой же точке (^) .
II. Величина Vv должна удовлетворять слабому аффинному закону сохранения
III. Плотность энергии t0v должна преобразоваться как плотность
