Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
4----- Ф-------:---TT • (8.7.34)
дх($)дх{а) дх(а)дх($) '
Наконец, нетрудно вывести закон преобразования
Г .,, > „„ffcWT
kw-wer-^-s^J=
dx($) dx(e)
I" d2x(y) dzx(y) I Зж(у)
L дх'(е)дх'(fi) дх'($)дх'(е) J дх'(а)
^7-35'
дх (є) da; (а) 5а; (P)L дя(6) дх(%) л
если учесть свойство антисимметрии
д^х(у) дх(у) dzx(y) дх(у)
dx'(fi)dx'(a) дх'(г) дх' ($)дх' (г\ дх'(а)
а также
(8.7.36)
<8-7-37>
Введем теперь величину
.(В)
(а)
д L8 \ -fI U (г) д8»{а) - "*Жд8*(а) + ^(є) ^
V pj 2 [§ { ’ дх (P) 8 (Р)‘дх(е) +g W дх і
= Ф|^(а)^(Р)§*(е), (8.7.38)
антисимметричную по вертикально расположенным индексам, которую можно также записать в виде
dSv. (8)
дх(а)
+ ^,я^(«)^(є)^(Р)-^(а)Г(Р)§Мє)]}. (8.7.39)
Тогда из закона (8.7.35) следует закон преобразования
г / S M7 д2х (у) дх (у) дх (у) дх (6) дх (rQ / ц\
L Vа P Jj дх' (а) дх' (P) дх' (е) дх' (а) дх' (P) дх' (є) \^6/’
(8.7.40)
гензор 2-го ранга V (
™дА(а) , ./OXA/Oa\ ЭЛ(в)
и поэтому дифференциальный нонвариантный тензор 2-го ранга V (P) А (а) может быть определен как
V ?) <“) = W + 4 (Е) Л ^«)s -SIW - л (8) д (р«) • (8-7-41)
295
Легко показать, что по отношению к такому «нонвариантному» дифференцированию (которое можно путем умножения на ?ц(Р) привести и к виду Vfl) метрический тензор всегда постоянен:
(®) = 'Si (a) rUv (6) + Me) л(Ре) = 0. (8.7.42)
Поэтому символы A называемые символами Риччи, удобно также
определить так
g* (а); V = — gv (P) g* (е) А (р“)» (8.7.43)
или
А(М= Л(а)р,-^(е)^(Р). (8.7.44)
Переходя к ковариантным индексам, запишем символы Риччи в виде
Def / п ч
Дад =(p")gx (P) g* (є) gv (а) = Фл„, (8.7.45)
или
Д(р "j = gA(P)^lj-Hgv(O) AxtliV]. (8.7.46)
Необходимо отметить, что обычная форма определения ковариант-
ной производной (1.50), которую можно было бы связать с соотношением
(8.7.23), оказывается неприменимой.
Запишем теперь тензор кривизны с помощью символов Риччи. Это легко сделать, заметив, что
Ы«);»V = ~[g*(Sjgll(P) д(р “)]. х (8.7.47)
так что подстановка в (8.7.28) дает
-TWv = g* (a) gj. (е) gn (P) gv (y) R (aePv) =
” *• (“) *» <е> <» *• W [-^5Г - '~ЩгГ + 4 (р “)4 (’«)+
+ 4 3 Д (t р)-Д(т“)а(р^)-Д (, «) 4 (о ;)], (8.7.48)
а плотйость скалярной кривизны принимает вид
Y^gR = [2 V=gg» («) А (р J) [ ^ +
+/=* [і (р ;) д (v;) - д (о;) і (т ;j] ¦. <8.7.«»
Тензор Римана — Кристоффеля удобно представить в форме Ac*. - е. («) *» («) [A, (°), f - А„ (? _ +
+ 4“) і8-7-50»
если учесть свойство 4-мерного «ротора»
Av(c):it~ Л^(е); V = V (е), ^~Д^(е), v‘ (8.7.51)
В заключение отметим, что тетрадные повороты тесно связаны со спи-норными преобразованиями (унимодулярными преобразованиями в комплексном двумерном пространстве спина).
8.8. Кватернионы в римановом пространстве
Под кватернионом понимают четверку (вообще говоря, комплексных) функций (в частности, чисел). Для кватернионов определены операции сложения, умножения и другие. He следует думать, что кватернион — это матрица или другая столь же конкретная конструкция. Вспомним, что, например, понятие группы не зависит от ее конкретизации. Точно так же понятие кватерниона предполагает лишь наличие 4 функций вне зависимости от конкретного «каркаса», который бы их связывал. Подобно тому,, как группы могут иметь свои представления (которые, впрочем, сами являются группами), можно ввести и представления кватернионов (например, представление с помощью матриц о Паули).
Кватернион, как уже говорили, представляет собой четверку функций
A= (Au A21 As, А,), (8.8.1)
или вообще
A=(Aa), (8.8.2)
где индексы а, Ь,________ h пробегают значения 1, 2, 3, 4, тогда как г, $
пробегают значения 1, 2, 3 (греческие индексы, как обычно, принимают значения 0, 1, 2, 3). Говорят, что A=B тогда и только тогда, когда все
Aa •— Ba»
Умножая кватернион на комплексное число, получаем снова кватернион:
z А = (zAa). (8.8.3)
Операция сложения кватернионов
Л+В = (Аа + Ва) (8.8.4)
является, очевидно, коммутативной и ассоциативной.
Введем, на основании этих определений, кватернионный базис:
оа = ((Tict, о>2а, сг3а, а4а) = (Gba). (8.8.5)
Здесь верхний индекс представляет собой номер базисного кватерниона Таким образом, можно считать, что
А = Ааоа, (8.8.6)
где компонентами кватерниона А являются некоторые функции или числа Aa. Определяется правило умножения базисных кватернионов:
OiOj = — id JiOlk + IeijhOh, (8.8.7)
G4Ga = GaCT4 = Ioa. (8.8.8)
Поэтому удобно взять просто о4 = і, так что г oj, a = j
°0=Ц a = 4’ <8-8-9>
причем правило (8.8.7) сводится к
OiO^ = 6Ji + IeijhOh. (8.8.10)
Отсюда следует общее правило умножения кватернионов:
AB = AiBi AikAik + і(AikBj -(- AjBlk -(- eijhAhBi) (8.8.11)
т. е.
AB — {i{AbPj + AjBk + ejhiAhBi); — i(AjBj — 4Д)}, (8.8.12)
В общем случае операция умножения кватернионов ассоциативна, но не
коммутативна.
297
Кроме того, над кватернионами определены операции сопряжения A = (-AijAi), (8.8.13)
