Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Контравариантный тензор емы определим по принципу построения обратного тензора:
dine
^v = -Tr-, (8.5.4)
о Єру
где
е = Det вру (8.5.5)
(не следует смешивать е с основанием натуральных логарифмов). Индексы, поднятые или опущенные с помощью e»v и epVi мы обозначаем, ставя над ними точки, например
Да = (8.5.6)
Связь между А'а и Aa имеет характерную форму
Adx=gabAfi. (8.5*7)
Аналог символа Кристоффеля определяется как я 1
YlAV = — Є*0 (Єр,рг V “Ь ?pv, JA -^IAV, р) (8.5.8)
(трансформационные свойства iYyt* совпадают? со свойствами Tfy , так что е-ковариантное дифференцирование определяется как
=Aw (8.5.9)
Ковариантні^іе производные относительно удобно называть g-ковари-антными производными. Согласно принятому определению, должно тождественно выполняться равенство
Ц I* (4 I H ® Jl ОС _ Л /о C л
г.чкр = Yvp, Я. — YvJi1 P + YaX Yvp — YopYvX = U- (o.D.IJ)
Разность двух связностей, обладающая свойствами тензора, может быть просто записана в виде
я я я 1
IIjiv = Tiiv — Ynv 38 (?|ip|v + SrPVlJI — ?jw|p) SS
I
S — — ?^p(6jip; V “t" epv; JA ^JlV; р)* (8.5.11)
ш '
Заметим, что, вводя произвольный симметричный тензор второго ранга Sjxv с отличным от нуля детерминантом и строя из него аналог связности Spv , можно определить s-ковариантное дифференцирование, причем имеет место равенство
ViVvp — ^p) — VftrvS — Sva) + (FaX — 2<хя) (rvp Svp) —
— (Грл — Spx) (Tva — Sva) = /?.vap &vap, (8.5.12)
282
где ^vaja —аналог тензора кривизны, построенный из 2?v и их частных производных. Отсюда и из (8.5.10) ясно, что
(8.5,13)
Очевидно также, что е-ковариантные производные коммутативны между собой.
Мы можем определить, таким образом, метод «тензорного продолжения» — построения тензорных величин путем замены обычных частных производных на ?-ковариантные. Тогда, обратно, нетензорные (но ковари-антные) равенства \ взятые в различных системах координат, имеют смысл специальных выражений («огибающих») для бесконечного семейства е-тензорных равенств, таких, что в каждой данной системе координат в соответствующем ^-тензорном равенстве из указанного семейства тензор ^jiv обращается в 6ц*. Здесь взяты тензоры е^у, не отвечающие никаким конкретным материальным системам — чисто формальный подход! Приведенная выше величина n*v может быть названа тензорным продолжением символа Кристоффеля.
Согласно своим законам преобразования,
В частной теории относительности используются преобразования, относящиеся к линейной ортогональной группе. Конечно, такие преобразования могут быть использованы и в общей теории относительности; однако они изменяют свой вид в зависимости от того, в каких координатных системах их рассматривают. Естественно предположить, что в общей теории относительности должна быть существенна группа преобразований, имеющих единые свойства (и форму) в любых координатных системах, которая переходит в собственно линейную ортогональную группу лишь в пределе плоского мира. Мы предлагаем взять в качестве такой группы преобразования, удовлетворяющие условию
Это условие может быть на основании. (2.4.9), если соотношение (8.5.16) выразить с помощью ?-ковариантных производных, записано в виде
тензорная форма которого очевидна. Равенству (8.5.17) можно придать форму
если учесть то обстоятельство, что тензор, обладающий одновременно свойствами симметрии и антисимметрии,
а Всякое тензорное равенство, конечно, автоматически является ковариантным, т. е. выполняется во всех системах координат. Однако имеются и не тензорные, но, тем не менее, ковариантные (в указанном смысле) равенства, например, соотношения Нётер. По-видимому, любая замкнутая система ковариантных равенств может быть истолкована как равенства для геометрических объектов, тогда тензорные равенст-ва с очевидностью оказываются их частным случаем.
б* гД = - у (fc* V + v; *) + 4 glp №p»vt + #pv„x)
(8.5.14)
H
:(8.5.15)
6*e(lv = 0.
(8.5.16)
?°|t = -e^exv^\
(8.5.17)
— IiiIvJ отсюда следует также равенство
(8.5.18)
(8.5.19)
(8.5.20)
28?
тождественно равен нулю. Таким образом, группа преобразований, определяемая условием (8.5.16), обобщает линейную ортогональную группу в случае двухметрического формализма. Заметим, что введение подобного обобщения для обычной метрики
вообще говоря, незаконно, так как условие (8.5.21) сводится к уравнениям Киллинга, выполнение которых, как известно, зависит от степени подвижности рассматриваемого пространства. Кроме того, как легко видеть, лагранжиан гравитационного поля в форме скалярной кривизны не только инвариантен в пространстве, допускающем преобразования, определяемые условием (8.5.21), но и постоянен во всем этом пространстве (чего, конечно, следовало ожидать с точки зрения подвижности пространства).
Вспоминая теперь, что при отбрасывании дивергенциального члена в выражении для плотности скалярной кривизны мы приходим к «старому» неинвариантному лагранжиану гравитации
естественно придать этому лагранжиану инвариантные свойства путем тензорного продолжения; мы получим в этом случае
