Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
а хронометрический вектор импульса — как
pi =Z pi = Tnui. (8.9.62)
Здесь масса движения частицы связана с ее массой покоя хорошо известной релятивистской формулой
т = т°-------------. (8.9.63)
Yl — UiUjbiJ
4-вектор силы негравитационного происхождения F» распадается на хронометрически инвариантную мощность
W = = _Jg*-------- (8.9.64)
Y^OO Vl — Щиі
и хронометрический вектор силы
,.=V1-^ .л. (М65)
Тогда уравнения геодезической (с подставленной в правую их часть посторонней силой и с т0 = const) можно записать в виде
dE
mDijUW — mGiUг = JiU1, (8.9.66)
dt
dPk
тА^ищі + 2т(Db +Alh )ui--mGk = fh, (8.9.67)
dt
где, конечно, можно усмотреть как гравитационные, так и инерционные составляющие. Следует, однако, помнить, что движение относительно системы координат имеет мало смысла, но что данные уравнения описывают движение относительно более определенной сущности — системы отсчета, и вполне могут конкурировать с уравнениями девиации геодезических (скорее, обе системы дополняют друг друга, так как вторые зависят от первых).
Источником гравитационного поля является симметричный (метрический) тензор энергии-импульса-натяжений Tliv. Он распадается на хронометрически инвариантную плотность массы-энергии
I* = — , (8.9.68)
Soo
плотность потока массы (плотность импульса,— хронометрический вектор)
гр 2
Si = -=Lr (8.9.69)
Ygoo
и хронометрический тензор плотности напряжений (он же — хронометрический тензор потока импульса)
Ui* = TiK (8.9.70)
Тогда уравнения Эйнштейна принимают вид
ЯП V
f DijDi5 + AiiAH + ViG* - GiGi = — — (ц, + С/), (8.9.71)
ф I LJ I * ь *¦ 2
308
У j (?Ю — DiI — A{j) + 2 GjAV — KS\
(8.9.72)
ODi
(Рік + Aik) (Djh + Aj ‘h) + DDiJ DikDjk + 3AikAj •h +
i?t
+ 4сЧ*°і + vA) - GiGj - Jij = ^bij + 2Uii - Ubij). (8.9.73)
Как выяснил Новиков (1960), ни одно из известных старых выражений для квазитензора энергии-импульса в общей теории относительности не удовлетворяет требованию хронометрической инвариантности. Как это показано в конце § 2.4 и обсуждалось также в § 2.3, 3.8 и 4.2, задача построения хронометрически инвариантных выражений для энергии в общей теории относительности вполне разрешима; можно показать, что успешно разрешима и проблема построения хронометрически инвариантного 3-мерного импульса.
Мы видели здесь, что динамические соотношения релятивистской механики в хронометрически инвариантном выражении принимают точную форму соответствующих соотношений частной теории относительности, иногда дополненных необходимыми членами. В этом отношение наиболее характерны выражения (8.9.62) — (8.9.65). Мы покажем тепері, что и кинематические соотношения в общих системах координат приобретают форму легко интерпретируемых частнорелятивистских соотношений, если их записать в хронометрически инвариантном виде. Возьмем случай плоского мира, когда в декартовой 4-мерной системе координат
1
о
— 1
— 1
(8.9.74)
о
— 1
Если бы мы применили теперь преобразования Лоренца, то получили бы вновь декартову 4-мерную систему координат, но относящуюся уже к другой системе отсчета. Следствия такого преобразования хорошо известны, это — сокращение длин, замедление хода часов, нарушение одновременности. При обосновании частной теории относительности в элементарных курсах преобразования Лоренца обычно противопоставляются преобразованиям Галилея, а последние связываются исключительно с механикой Ньютона. При этом очень часто забывают сказать, что требуется не просто инвариантность 4-интервала (или уравнений Максвелла), а форм-инва-риантность, т. е. требуется, чтобы метрика сохраняла декартов («галилеев») характер (8.9.74). Однако она не должна обязательно его сохранять даже в рамках частной теории относительности, что особенно убедительно показано Фоком (1961) в его книге. Действительно, мы безусловно можем переходить, не выходя за рамки частной теории относительности, от декартовых к сферическим (в 3-мерном аспекте) системам, в которых метрический тензор уже не будет единичным и т. д. Почему же тогда запрещать переходы к системам, недекартовым в 4-мерном смысле, например, к тем, в которых ось времени неортогональна пространственным осям?! Именно с этой точки зрения подошел в своей книге Мёллер к преобразованию Галилея
Xfi = Xі + ViOfi, Vі = const, х'° = ofi, (8.9.75)
и показал, что это преобразование в действительности равноценно преобразованию Лоренца (с той же скоростью), а последнее может быть просто получено из него при ортогонализации оси времени по отношению к пространственным осям. Мы обсудим этот методический вопрос в духе Ари-
309
фова. Очевидно, что в результате преобразования (8.9.75) метрический тензор (8.9.74) переходит в
($Vv) —
I-V2 V1 V3
г;1 — 1 0 0
V2 0 — 1 0
V3 0 0 — 1
(8.9.76)
(ось времени неортогональна пространственным осям). Рассмотрим квадрат 3-мерного интервала между одной и той же парой точек в обеих системах [штрих отмечает систему (8.9.76)]. Так как
= б (8.9.77)
