Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Это утверждение может быть доказано по такой же схеме как и аналогичное предложение в случае нейтральных частиц. Достаточно проверить справедливость следующих предложений.
Пусть /о, gQ — гладкие финитные функции, равные нулю в окрестности особых поверхностей Р2=*Е{. Тогда имеет место равенство
lim (r»f/, V-lSo*-iW*(0)g) = (/, g). (6.51)
Пусть, далее, /А, gA — финитные гладкие функции, равные нулю в окрестности особых поверхностей Еа(Ра) = Ei. Тогда выполняются соотношения
lim (е- - н<и?>/, LAe-iS^-^) = (fA,gA), АфО.
(6.52)
Эти соотношения можно проверить совершенно так же, как это было сделано в случае системы двух частиц. Наметим схему их обоснования на примере (6.51).
§ 3. обоснование нестационарной постановки
325
При помощи соотношения
exp {iUt} U^±) = U^exp {iH0t}
которое вытекает из предложения 6.4, скалярное произведение в левой части (6.51) можно представить в виде
(и(0±) ехр {- mot] /, ехр {- iU0t - iW'f] g). (6.53) Введем в рассмотрение интеграл, аналогичный (6.44):
X exp [-J(P', X) + it(P'2-P*) + iW[0)(P)}. (6.54)
Дальнейшие- рассуждения дословно повторяют рассуждения, которые мы провели в системе двух тел. Во-первых, мы можем ограничить^ область интегрирования в (6.54) внешностью шара \Х\ ^Rt. Затем следует проинтегрировать по угловым переменным РиР'и вычислить асимптотику этих интегралов при помощи формулы (6.23) и аналогичного соотношения для плоских волн ехр {i(X, Р')}. Получим формулу вида (6.440, но с одним отличием: вместо функции \x\~*F(х) ехр Us\x\ + + iwt{s)} в данном случае возникает сумма по всем каналам 2 Fао (уА) ^а (*а) Qa } (Уа, ЕА), ЕА = s2 — х%. Од-
а
•нако в пределе t -> —«> остаются только слагаемые, содержащие произведения шестимерных сферических волн. При этом сингулярные и быстро осциллирующие функции, которые появляются после интегрирования по 1X1, снова даются формулой (6.44"), где следует взять новый
V Па \х<*\
кулоновскии параметр r)0 = ^> 2scos(o , cos соа = г^у.
Предел при —оо получившегося выражения может быть найден с помощью формулы (2.44). Получим искомое соотношение lim lim. IQ(t, е) =(/, g).
t-> — oo elo
Итак, мы завершили исследование задач, которые представляют основной интерес с точки зрения обоснования теории рассеяния. Другой круг содержательных задач связан с применением развитых методов для вычисления физически интересных величин — амплитуд различных процессов рассеяния для трехчастичных реакций. Мы обсудим подходы к решению этих задач в главе VII.
Глава VII
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
В настоящей, главе мы опишем методы расчета волновых функций, основанные на стационарных формулировках задачи рассеяния, развитых в этой книге. Мы не ставим перед собой цель дать всесторонний обзор имеющихся подходов к решению уравнения Шредингера и компактных уравнений. Выбор материала в основном определяется нашей точкой зрения на эффективность различных методов и нашими собственными исследованиями этих вопросов.
Будем считать дальше, что потенциал взаимодействия является сферически симметричным: и(х) =и{г), г = \х\. К этому простому случаю могут быть сведены практически все физические задачи теории столкновений при низких энергиях. Численное решение задач рассеяния для системы нескольких частиц с такими потенциалами основано на разложении волновых функций по угловым базисам. Последние выбираются из весьма различных соображений. Однако, по существу, все базисы имеют много общего с обычным базисом сферических функций, который применяется для решения двухчастичного уравнения Шредингера. Поэтому ради полноты изложения мы напомним сначала традиционные и хорошо известные результаты о парциальном разложении двухчастичных уравнений, а затем обобщим их на трехчастичные задачи.
§ I. Парциальные волны в системе двух тел
В этом параграфе мы отделим угловые переменные в уравнении Шредингера для волновых функций и в интегральных уравнениях для Г-матрицы. Тем самым мы сведем задачу вычисления амплитуд рассеяния к решению обыкновенных дифференциальных уравнений или одномерных интегральных уравнений.
Уравнение Шредингера. Решение уравнения Шредингера со сферически симметричным, потенциалом может
§ 1. ПАРЦИАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ В СИСТЕМЕ ДВУХ ТЕЛ 327
быть разложено в ряд по полиномам Яежандра:
*(*'к) = ькг 2{21 +1} *гр<(соа 0) % (г'д)- (7Л)
г=о
Здесь через 0 обозначен угол между векторами к и х и через % — решение дифференциального уравнения (?= 1*1)
-ТГ + + "О")) * (0 = 9я* И. (7-2)
называемого парциальным (радиальным) уравнением Шре-дингера. Волновым функциям отвечают решения, асимптотически равные сумме уходящих и приходящих волн:
Ф1~4"(ехр{~"*гг + +
_ехр{-^(/ + 1) + 2^}ехр{^г}). (7.3)
При г = 0 функции ^ должны" обращаться в нуль: я|)Д0)=0.
Величина 6* называется парциальной фазой рассеяния, а функция 5г = е2г&1 — парциальной 8-матрицей. Плоская волна ецк'х) также может быть представлена в виде аналогичного ряда:
е1{Х'к) = 4^"г 2 (2г + *> 11?1 (С08б) 11 {гк)>
1=0
где il(rq) — сферические функции Бесселя:
ЛИ) = /у^+Ы^),
асимптотически равные полусумме уходящих и приходящих волн:
