Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Нк,к\*)-*МШ1, (7.18)
где
д(г) = Я-1 +(7.18'>
Заметим, что функция Д(/с2 + Ю) монотонна. Поэтому она не может иметь больше одного корня, и, следовательно, оператор энергии с сепарабельным потенциалом ранга 1 может обладать не более чем одним связанным состоянием. При этом -соответствующий форм-фактор равен функции фШ, а нормированная собственная функция г|)(&) дается равенством
*(*)-А
где —х2 — энергия связи.
§ 1. ПАРЦИАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ В СИСТЕМЕ ДВУХ ТЕЛ 335,
Aij = ^ + J dk —^—^—.
Ядро Т-матрицы, как и волновая функция, может быть, разложено в ряд по полиномам Лежандра:
оо
*(*, Ь', z) = ^ (2I+ а) Л (cos в), (7.20>
cos в «(Л, Л'), д' = 1Л'1,
причем парциальные Г-матрицы на энергетической поверхности совпадают с парциальными б'-матрицами:
ti(q, q,q*+i0)=(2iq)-1(e^-l);
t\(q, q\ z) удовлетворяют интегральным .уравнениям
оо
h (<?, q', z) = v, (q, q') - \ *, (q", z) dq", (7.21>
0
которые могут быть решены явно, если заменить потенциалы Vi сепарабельными приближениями (7.17). Например, в случае сферически симметричных сепарабельных потенциалов ранга 1
Viiq, },)=?«ф(?)ф*(«')
ядро Г-матрицы задается равенством (7.18), где интеграл по к следует заменить одномерным интегралом относительно q по промежутку [0, оо).
Если частицы заряжены, то Г-матрицу для потенциалов, равных сумме кулоновского и сепарабельного, можно-представить в виде суммы
t(z)*=>tc(z) + tce(z), il 22)
где кулоновская Г-матрица известна в явном виде (3.121), а дополнительное слагаемое ?cs, обусловленное сеп&ра-бельным взаимодействием, задается интегральным пред-
В общем случае потенциала (7.18) Г-матрица имеет вид суммы
г {к, к', 2) = 2М>. (к)Щк^) (7.19>
г,;
где через Ду обозначена матрица МХЫ, задаваемая равенством
336
ГЛ. VII. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
^тавлением. ТЗсли ранг сенарабельпого потенциала равен единице, то справедливо рдвенство
*»<*, у.')-|,,(У' (7-22,)
где величина АС8 определяется аналогично (7.18'): ДС8 ^) = Я""1 + | дк йк\ гс (к, к\ г) Ф {к') Ф* (/с), -
а ?С8 — модифицированный кулоновский форм-фактор: ВсВ (к) = Ф (Л) + Г 'с(^'2?: г)ф(9> (7.22")
В общем случае ядро tcs задается равенством типа (7.19), где функции <р* следует заменить кулоновскими модифицированными форм-факторами g[гs1 которые выражаются через фг- формулами (7.22").
В ряде случаев, например, когда функции ф»(й:) являются рациональными, встречающиеся здесь интегралы можно вычислить явно. Мы, однако, не будем проводить здесь дальнейшие преобразования формул (7.22").
Таким образом, .вычисление амплитуды рассеяния для локальных потенциалов в этом подходе может быть-сведено к решению совокупности независимых систем алгебраических уравнений конечного ранга. Мы не будем обсуждать способы аппроксимации локальных потенциалов сепарабельными. Отметим лишь, что эффективность метода определяется как числом членов в разлоя^ении потенциала
у{к-к')~^м{{к) Ф,.(А'),
г
которое передает его поведение с хорошей точностью, так и числом парциальных волн, которое необходимо удерживать ~в разложении (7.20). Например, в задачах ядерной физики сходимость этих разложений оказывается достаточно быстрой.
§ 2. Парциальные уравнения для компонент
В этом параграфе мы рассмотрим систему трех тел. Мы отделим угловые переменные в уравнениях для компонент волновых функций и опишем методы решения парциальных уравнений. Имея в виду прилоячения этих
§ 2. ПАРЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ КОМПОНЕНТ
337
методов в ядерной физике, мы рассмотрим системы тождественных частиц. При этом, чтобы не перегружать формулы индексами, мы положим спин частиц равным нулю. Это означает, что волновые функции должны быть симметричными но отношению к перестановкам частиц. Все построения, однако, могут быть по стандартным схемам перенесены на случай частиц с произвольным спином и изоспином.
Отметим, что уравнения для компонент в дифференциальной форме более удобны, чем уравнения Шрединге-ра, с точки зрения численного решения задачи рассеяния. Это связано с тем, что, как мы отмечали в § 5 главы IV, •асимптотические граничные условия для компонент Ф«(#а, у а) задаются в терминах фиксированной пары яко-биевых координат уа), тогда как для описания асимптотики волновой функции ^?(Х) в областях ?2а и ?1$, а Ф [}, необходимо использовать все пары якобиевых координат. Последнее обстоятельство делает практически невозможным корректное задание асимптотических условий при численных решениях задачи рассеяния.
Бисферический базис. Напомним, что компоненты волновых функций подчиняются сястеме дифференциальных уравнений
(-А + и«(ха)-Е)Ф«(Х) = -иа(ха) 2Фр(Х), (7.23) а волновая функция равна их сумме
тр(Х)-2ф«(Х).
а
Мы будем рассматривать только процессы рассеяния частицы на связанной паре (2-^-2), (2-*~3). Этому случаю отвечает решение системы (7.23) в классе функций Веа{Ра), описанных в § 3 главы IV.
Тождественность частиц приводит к простой связи между компонентами Ф«. Обозначим через Р* операторы циклический перестановки частиц, действие которых задается соотношениями
Р+(123) = (312), Р"(123) = (230.
