Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
X ехр {- i (р';х) + и(р'2-р*) + iwt (р)} / (р7) g (р).
Заметим, что интеграл по шару Ук радиуса Д^оСГ) при а?<1/3 равен в пределе Ы«> нулю. Действительно, в этом случае параметр Ь является старшим по отношению к Ы, Поэтому, проводя первое интегрирование по х, соответствующий ивтеграл можно записать в виде (1.28). Асимптотика такого интеграла может быть вычислена при помощи метода стационарной фазы. Получим в пределе Н\ «> нуль.
Итак, мы можем ограничиться интегрированием по внешности шара большого радиуса /?* = о(|?|у). Проведем первое интегрирование по угловым пе'ременным р и р'. Так как Ы велико, мы можем воспользоваться формулой (6.9), чтобы вычислить асимптотику интеграла относительно р. Асимптотика интеграла по р' може* быть вычислена при -помощи аналогичного соотношения (4.6). В результате получим следующее асимптотическое равенство:
Km (в-«ииС±>/, L0e-ipt-^g) = (/, g).
оо
оо
I(t, г) ~ s- ds-s ds'-s' dxer*l*\x
О 0 \x\>Rt
Хехр {it(s'2 — s2) — iwt (s)} X
х^(*'«)-[7Г-я(-^)-пп-)х
( M f(-sx) + F(x)e—[Ir-). (6.44')
21 с. П. Меркурьев, Л. Д. Фаддеев
322
ГЛ. VI. ВОПРОСЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБОСНОВАНИЯ
Таким образом, мы можем записать lit, е) в виде суммы четырех быстро осциллирующих интегралов, в которые входят экспоненты вида exp {=Pi\x\sr ± i\x\s). Проинтегрируем далее по радиальной переменной \х\. При этом промежуток интегрирования [Rt, °°) дополним до полуоси [0, оо) — так мы добавляем слагаемые, которые равны в пределе UI-*-«> нулю. Возникающие интегралы могут быть вычислены явно. В результате появляются следующие функции, которые определяют нетривиальные сингулярные и быстро осциллирующие части подынтегрального выражения:
(± s' + *+Ю)1+гТ»
Проинтегрируем, наконец, по s и применим асимптотические формулы (2.44) из главы II. Отличный от нуля предел будет иметь лингь слагаемое, которое отвечает знаменателю U' — s + iO)~\ Этот предел равен скалярному произведению (/, g), что и требовалось установить.
Итак, мы полностью разобрались с системой двух частиц и можем перейти к исследованию трехчастичных нестационарных волновых операторов.
Система трех тел. Основным результатом, который мы докажем в случае системы трех нейтральных частиц^ является следующее утверждение.
Операторы
UA (0 = e™LAe А = 0, {а, *}, (6.45)
сильно сходятся при t +сх>, причем
lim UA (*) = и?\ А = О, {а, i}, (6.46)
f-* + oo
где операторы XJ^ определяются равенствами (3.63)— (3.63").
Эти соотношения аналогичны равенствам (6.42) для системы двух тел. Однако видно существенное отличие результатов, относящихся к операторам эволюции еш и еш*. Сравнивая (6.42) и (6.46), мы .видим, что по своему построению операторы u(t) и U0U) аналогичны. Важным свойством асимптотики оператора и(?), т. е. операторов и(+) и п(_), является совпадение областей значений этих операторов. Операторы Uo±) не обладают этим свойством. Как следует из предложения 6.4, совпадают только орто-
§ 3-. ОБОСНОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ПОСТАНОВКИ 323
тональные суммы областей значений операторов и
и(1\ АфО.
Это отличие, конечно, тесно связано с отмеченным выше отличием системы двух тел от системы трех частиц. В терминах теории рассеяния первая является однока-нальной, а вторая — многоканальной. Результаты, которые мы доказываем в этой главе, позволяют придать точный математический смысл данным в главе II понятиям канала, волновых операторов и оператора рассеяния для многоканальной системы на примере системы трех частиц.
Так же как и в системе двух частиц, основу доказательства равенств (6.46) составляют следующие утверждения.
1. Пусть /(Р) и g(P) — финитные гладкие функции, равные нулю в окрестности особых поверхностей Р2 — Е{. Тогда
Нт (*-*н*и0/, Ь0*-«о'йг) = (/, «г). (6.47)
2. Пусть fA и ?а — финитные гладкие функции, причем ЕА(рА) =*Е{ в окрестности особых поверхностей. Тогда
Нт (е-^ил/л, ЪАе-'ша*ёа) = (/л, 8а). (6.48)
Из этих утверждений немедленно вытекают соотношения (6.46), поскольку
11(и0(г)-и<±>)/||2 =
= 2 ( - Бе (е-дас/<±>/, Ь„е-#о«/)),
= 2( ц/лГ - ке(в-да^)/Л| ьАе-&АЧА))у
а правые части здесь исчезают в пределе ? -> Тоо в силу (6.47) и (6.48).
Доказательство равенств (6.47) и (6.48) может быть получено по такой же схеме, как и в случае системы двух частиц. Достаточно проверить, что выражения
равны нулю в пределе *-*=Ре». С этой целью нужно подставить выражение для ядер волновых операторов в терминах компонент Г-матрицы и перейти к сферическим 21*
324 ГЛ. VI. ВОПРОСЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБОСНОВАНИЯ
переменным интегрирования. Вычисляя асимптотику получившихся интегралов по радиальным переменным с помощью соотношений (2.44), получим искомые равенства
lim IA(t) =*0.
Заряженные частицы. Предположим далее, что частицы имеют заряды. В этом случае обобщенные волновые операторы определяются в нестационарном подходе с помощью соотношений
(А)
U?} = lim еЫЪАе-ша*-т1 , (6.49)
где кулоновские фазовые операторы даются формулами W(<0) = 2 sigQ«In 4P2 \t I, А-О,
(6.50)
wu) = ^^ln41parifl) аф0
Мы покажем, что, как и в системе нейтральных частиц, сильные пределы (6.49) совпадают со стационарными волновыми операторами.
